Giải bài 5 trang 90 – SGK môn Hình học lớp 12
Tìm số giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{aligned} & x=12+4t \\ & y=9+3t \\ & z=1+t \\ \end{aligned} \right. \) và \( \left( \alpha \right):3x+5y-z-2=0 \);
b) \(d:\left\{ \begin{aligned} & x=1+t \\ & y=2-t \\ & z=1+2t \\ \end{aligned} \right. \) và \( \left( \alpha \right):x+3y+z+1=0 \);
c) \(d:\left\{ \begin{aligned} & x=1+t \\ & y=1+2t \\ & z=2-3t \\ \end{aligned} \right. \) và \( \left( \alpha \right):x+y+z-4=0 \).
Hướng dẫn:
Nếu d cắt \((\alpha)\) thì chúng có 1 điểm chung.
Nếu d song song với \((\alpha)\) thì chúng không có điểm chung nào.
Nếu d nằm trong \((\alpha)\) thì chúng có vô số điểm chung.
a) Ta có vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của \((\alpha)\) lần lượt là \(\overrightarrow{a}=\left( 4;3;1 \right)\overrightarrow{n}=\left( 3;5;-1 \right)\)
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=4.3+3.5+1.\left( -1 \right)=26\ne 0\)
Suy ra d cắt \((\alpha)\).
Vậy chúng có 1 điểm chung.
b) Ta có vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của \((\alpha)\) lần lượt là \(\overrightarrow{a}=\left( 1;-1;2 \right)\overrightarrow{n}=\left( 1;3;1 \right) \)
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=1-3+2=0 \)
Suy ra đường thẳng d song song hoặc nằm trong \((\alpha)\).
Lấy \(M\left( 1;2;1 \right)\in d\), thay tọa độ M vào \((\alpha)\) ta được:
\(1+3.2+1+1=9\ne 0\)
Suy ra \(M\notin \left( \alpha \right)\)
Suy ra d // \((\alpha)\) do đó chúng không có điểm chung.
c) Ta có vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của \((\alpha)\) lần lượt là \(\overrightarrow{a}=\left( 1;2;-3 \right),\,\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right) \)
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=1+2-3=0\)
Suy ra đường thẳng d song song hoặc nằm trong \((\alpha)\).
Lấy \(N\left( 1;1;2 \right) \in d\), thay tọa độ M vào \((\alpha)\) ta được:
\(1+1+2-4= 0\)
Suy ra \(N\in \left( \alpha \right)\)
Suy ra d nằm trong \((\alpha)\) do đó chúng có vô số điểm chung.