Giải bài 8 trang 91 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho điểm \(M\left( 1;4;2 \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+z-1=0 \).
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Hướng dẫn:
a) Bước 1: Viết phường trình tham số của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Bước 2: Giao điểm H của d và \(\left( \alpha \right)\) là hình chiếu của điểm M trên \(\left( \alpha \right)\).
b) M' đối xứng với M qua mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu và chỉ nếu H là trung điểm của MM'.
a) Ta có \(\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=\left( 1;1;1 \right) \)
Vì \(d\bot (\alpha)\Rightarrow\overrightarrow{u_{(d)}}=\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=\left( 1;1;1 \right) \)
Phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(d:\left\{ \begin{aligned} & x=1+t \\ & y=4+t \\ & z=2+t \\ \end{aligned} \right. \)
Gọi \(H\left( 1+t;4+t;2+t \right)\in d\) là hình chiếu của M trên \(\left( \alpha \right)\). Suy ra \(H\in \left( \alpha \right)\) nên tọa độ H thỏa mãn \(\left( \alpha \right)\)
\(1+t+4+t+2+t-1=0 \\ \Leftrightarrow 3t+6=0 \\ \Leftrightarrow t=-2 \\ \Rightarrow H\left( -1;2;0 \right) \)
b) Tọa độ điểm M' là
\(\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{M'}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{M}}=-3 \\ & {{y}_{M'}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{M}}=0 \\ & {{z}_{M'}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{M}}=-2 \\ \end{aligned} \right. \\ \Rightarrow M'\left( -3;0;-2 \right) \)
c) Khoảng cách từ điểm M đến \(\left( \alpha \right)\) là
\(d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 1+4+2-1 \right|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\)