Giải bài 62 trang 83 - SGK Toán lớp 7 Tập 2
Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
a) Hai đường cao bằng nhau
Vẽ \(BH \bot AC\) và \(CK \bot AB\)
Xét hai tam giác vuông \(KBC\) và \(HCB\) có:
Cạnh \(BC\) chung
\(BH = CK\) (giả thiết)
\(\Rightarrow ΔKBC = ΔHCB\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow \widehat{KBC} = \widehat{HCB}\) (cặp góc tương ứng)
Xét tam giác \(ABC\) có:
\(\widehat{KBC} = \widehat{HCB}\) hay \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\)
Vậy \(ΔABC\) cân tại \(A\) (đpcm)
Chứng minh trên ta có:
Nếu \(BH = CK\) thì \(ΔABC\) cân tại \(A \Rightarrow AB = AC \,\,\, (1)\)
Nếu \(AI = BH\) thì \(ΔABC\) cân tại \(C \Rightarrow CA = CB \,\,\, (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) ta có: \(AB = BC = AC\)
Vậy \(ΔABC\) là tam giác đều (đpcm)
Nhận xét:
Trong tam giác đều ba đường cao bằng nhau.
Trong tam giác cân có hai đường cao xuất phát từ hai đỉnh (ở đáy) bằng nhau.