Giải bài 4 trang 154 – SGK môn Đại số lớp 10
Chứng minh các đẳng thức
\(a) \dfrac{\cos \left( a-b \right)}{\cos \left( a+b \right)}=\dfrac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1}.\)
\(b) \sin \left( a+b \right)\sin \left( a-b \right)={{\sin }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a.\)
\(c) \cos \left( a+b \right)\cos \left( a-b \right)={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\sin }^{2}}a.\)
a) Ta có:
\(\begin{align} VP&=\dfrac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1} \\ & =\dfrac{\dfrac{\cos a}{\sin a}.\dfrac{\cos b}{\sin b}+1}{\dfrac{\cos a}{\sin a}.\dfrac{\cos b}{\sin b}-1} \\ & =\dfrac{\cos a\operatorname{cosb}+\sin a\operatorname{sinb}}{\cos a\operatorname{cosb}-\sin a\operatorname{sinb}} \\ & =\dfrac{\cos \left( a-b \right)}{\cos \left( a+b \right)}=VT \\ \end{align}\)
Suy ra \(\dfrac{\cos \left( a-b \right)}{\cos \left( a+b \right)}=\dfrac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1}\)
b) Ta có
\( \begin{align} & \sin \left( a+b \right)\sin \left( a-b \right)=\dfrac{1}{2}\left( \cos 2b-\cos 2a \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( 2{{\cos }^{2}}b-1-2{{\cos }^{2}}a+1 \right) \\ & ={{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a \\ \end{align} \)
Mặt khác
\( \begin{align} & {{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a=1-{{\sin }^{2}}b-1+{{\sin }^{2}}a \\ & ={{\sin }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b \\ \end{align} \)
Suy ra \(\sin \left( a+b \right)\sin \left( a-b \right)={{\sin }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a\)
c) Ta có
\( \begin{align} & \cos \left( a+b \right)\cos \left( a-b \right)=\dfrac{1}{2}\left( \cos 2b+\cos 2a \right) \\ & =\dfrac{1}{2}\left( 1-2{{\sin }^{2}}b+2{{\cos }^{2}}a-1 \right) \\ & ={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b \\ \end{align}\)
Mặt khác
\( \begin{align} & {{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b=1-{{\sin }^{2}}a-1+{{\cos }^{2}}b \\ & ={{\cos }^{2}}b-{{\sin }^{2}}a \\ \end{align} \)
Suy ra \(\cos \left( a+b \right)\cos \left( a-b \right)={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\sin }^{2}}a\)
Ghi nhớ
Công thức biến đổi tích thành tổng:
\(\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}\left[ \cos \left( a-b \right)+\cos \left( a+b \right) \right]\\ \sin a\sin b=\dfrac{1}{2}\left[ \cos \left( a-b \right)-\cos \left( a+b \right) \right]\\ \sin a\cos b=\dfrac{1}{2}\left[ \sin \left( a-b \right)+\sin \left( a+b \right) \right].\\\)
Công thức nhân đôi:
\(\sin 2a=2\sin a.\cos a\\ \cos 2a={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a=2{{\cos }^{2}}a-1=1-2{{\sin }^{2}}a\\\)