Giải bài 8 trang 62 – SGK môn Đại số lớp 10
Cho phương trình \(3x^2-2(m+1)x+3m-5=0\)
Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Hướng dẫn:
- Tìm điều kiện phương trình có nghiệm: \((\Delta \ge 0)\)
- Áp dụng hệ thức Vi - ét tìm m thỏa mãn.
- Thay m vào phương trình, tìm nghiệm còn lại.
Ta có:
\(\begin{aligned} & \Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-3.\left( 3m-5 \right) \\ & ={{m}^{2}}+2m+1-9m+15 \\ & ={{m}^{2}}-7m+16 \\ & ={{\left( m-\dfrac{7}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{15}{4}>0\,\,\forall m \\ \end{aligned}\)
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:
\(\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{2m+2}{3} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{3m-5}{3} \\ \end{aligned} \right. \)
Theo đề bài ta lại có: \({{x}_{1}}=3{{x}_{2}} \)
Ta có hệ phương trình
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{2m+2}{3} \\ & {{x}_{1}}=3{{x}_{2}} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow 4{{x}_{2}}=\dfrac{2m+2}{3} \\ & \Leftrightarrow {{x}_{2}}=\dfrac{m+1}{6}\Rightarrow {{x}_{1}}=\dfrac{m+1}{2} \\ \end{aligned} \)
Thay \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) vào \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{3m-5}{3}\) ta được
\(\begin{aligned} & \dfrac{m+1}{6}.\dfrac{m+1}{2}=\dfrac{3m-5}{3} \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1=4\left( 3m-5 \right) \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1=12m-20 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+21=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m=3 \\ & m=7 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Với \(m=3\) ta có: \(3{{x}^{2}}-8x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=2 \\ & x=\dfrac{2}{3} \\ \end{aligned} \right. \)
Với \(m=7\) ta có: \(3{{x}^{2}}-16x+16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=4 \\ & x=\dfrac{4}{3} \\ \end{aligned} \right. \)