Giải bài 1.29 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) \(2\cos x-\sin x=2\)

b) \(\sin 5x +\cos 5x =-1\)

c) \(8\cos ^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)

d) \(\sin ^6 x+\cos ^6 x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)

Lời giải:

a) Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{{{2}^{2}}+1}=\sqrt{5}\) ta được:

\(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cos x-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}} \)
Đặt \(\cos \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{5}};\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{5}}\) ta được:
\(\begin{aligned} & \cos \alpha \cos x-\sin \alpha \sin x=\cos \alpha \\ & \Leftrightarrow \cos \left( \alpha +x \right)=\cos \alpha \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \alpha +x=\alpha +k2\pi \\ & \alpha +x=-\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=k2\pi \\ & x=-2\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
b) Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) ta được:
\(\begin{aligned} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin 5x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 5x=\dfrac{-1}{\sqrt{2}} \\ & \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{4}\cos 5x+\sin \dfrac{\pi }{4}\sin 5x=\cos \left( \dfrac{3\pi }{4} \right) \\ & \Leftrightarrow \cos \left( 5x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\cos \left( \dfrac{3\pi }{4} \right) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 5x-\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \\ & 5x-\dfrac{\pi }{4}=-\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{5}+\dfrac{k2\pi }{5} \\ & x=\dfrac{-\pi }{10}+\dfrac{k2\pi }{5} \\ \end{aligned} \right.\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)

c) Ta có:
\(\begin{aligned} & 8{{\cos }^{4}}x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0 \\ & \Leftrightarrow 8{{\left( \dfrac{1+\cos 2x}{2} \right)}^{2}}-4\cos 2x+\sin 4x-4=0 \\ & \Leftrightarrow 2\left( 1+2\cos 2x+{{\cos }^{2}}2x \right)-4\cos 2x+\sin 4x-4=0 \\ & \Leftrightarrow 2+2{{\cos }^{2}}2x+\sin 4x-4=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}2x-2+\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow 1+\cos 4x-2+\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow \cos 4x+\sin 4x=1 \\ & \Leftrightarrow \cos \left( 4x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & \Leftrightarrow 4x-\dfrac{\pi }{4}=\pm \dfrac{\pi }{4}+k2\pi \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{8}+k\dfrac{\pi }{2} \\ & x=k\dfrac{\pi }{2} \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
d)
\(\begin{aligned} & {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{3}}-3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}\left( \dfrac{1-\cos 4x}{2} \right)+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow 8-3+3\cos 4x+4\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow 3\cos 4x+4\sin 4x=-5 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\cos 4x+\dfrac{4}{5}\sin 4x=-1 \\ \end{aligned} \)
Đặt \(\cos \alpha =\dfrac{3}{5};\sin \alpha =\dfrac{4}{5} \) ta được:
\(\begin{aligned} & \cos \alpha \cos 4x+\sin \alpha \sin 4x=-1 \\ & \Leftrightarrow \cos \left( 4x-\alpha \right)=-1 \\ & \Leftrightarrow 4x-\alpha =\pi +k\pi \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\alpha }{4}+\dfrac{k\pi }{4}\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ