Giải bài 1.30 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Giải các phương trình sau:
a) \(1+\sin x-\cos x-\sin 2x+2\cos 2x=0\)
b) \(\sin x-\dfrac{1}{\sin x}=\sin^2 x-\dfrac{1}{\sin^2x}\)
c) \(\cos x\tan 3x=\sin 5x\)
d) \(2\tan^2x+3\tan x+2\cot^2x+3\cot x+2=0\)
Lời giải:
a) Ta có:
\(\begin{aligned} & 1+\sin x-\cos x-\sin 2x+2\cos 2x=0 \\ & \Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)+\left( 1-\sin 2x \right)+2\cos 2x=0 \\ & \Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)+{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}+2\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)\left[ 1+\left( \sin x-\cos x \right)-2\left( \sin x+\cos x \right) \right]=0 \\ & \Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)\left( 1-\sin x-3\cos x \right)=0 \\ \end{aligned} \)
TH1: \( \sin x-\cos x=0\,\,\left( 1 \right)\)
Nhận thấy \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình.
\(\begin{aligned} & \left( 1 \right)\,\Leftrightarrow \tan x=1 \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
TH2: \(1-\sin x-3\cos x=0\Leftrightarrow \sin x+3\cos x=1\,\,\left( 2 \right) \)
Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{10}\) ta được:
\(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin x+\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
Đặt \(\cos \alpha =\dfrac{3}{\sqrt{10}};\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{10}} \)
Phương trình tương đương:
\(\begin{aligned} & \cos \alpha \cos x+\sin \alpha \sin x=\sin \alpha \\ & \Leftrightarrow \cos \left( x-\alpha \right)=\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha \right) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x-\alpha =\dfrac{\pi }{2}-\alpha +k2\pi \\ & x-\alpha =-\dfrac{\pi }{2}+\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+2\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
TH1: \( \sin x-\cos x=0\,\,\left( 1 \right)\)
Nhận thấy \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình.
\(\begin{aligned} & \left( 1 \right)\,\Leftrightarrow \tan x=1 \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
TH2: \(1-\sin x-3\cos x=0\Leftrightarrow \sin x+3\cos x=1\,\,\left( 2 \right) \)
Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{10}\) ta được:
\(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin x+\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
Đặt \(\cos \alpha =\dfrac{3}{\sqrt{10}};\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{10}} \)
Phương trình tương đương:
\(\begin{aligned} & \cos \alpha \cos x+\sin \alpha \sin x=\sin \alpha \\ & \Leftrightarrow \cos \left( x-\alpha \right)=\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha \right) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x-\alpha =\dfrac{\pi }{2}-\alpha +k2\pi \\ & x-\alpha =-\dfrac{\pi }{2}+\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+2\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
b) ĐKXĐ: \(\sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \)
\(\begin{aligned} & \sin x-\dfrac{1}{\sin x}={{\sin }^{2}}x-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\ & \Leftrightarrow \sin x-{{\sin }^{2}}x-\left( \dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \sin x\left( 1-\sin x \right)-\dfrac{\sin x-1}{{{\sin }^{2}}x}=0 \\ & \Leftrightarrow \left( 1-\sin x \right)\left( \sin x+\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)=0 \\ & \Rightarrow \left( 1-\sin x \right)\left( {{\sin }^{3}}x+1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x=1 \\ & \sin x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \)
c) ĐKXĐ: \( \cos 3x \ne 0\)
\(\begin{aligned} & \cos x\tan 3x=\sin 5x \\ & \Rightarrow \cos x\sin 3x=\sin 5x\cos 3x \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( \sin 4x+\sin 2x \right)=\dfrac{1}{2}\left( \sin 8x+\sin 2x \right) \\ & \Leftrightarrow \sin 4x=\sin 8x \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 8x=4x+k2\pi \\ & 8x=\pi -4x+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{k\pi }{2} \\ & x=\dfrac{\pi }{12}+\dfrac{k\pi }{6} \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
d) ĐKXĐ: \(x\ne k\dfrac{\pi }{2}\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
\(\begin{aligned} & 2{{\tan }^{2}}x+3\tan x+2{{\cot }^{2}}x+3\cot x+2=0 \\ & \Leftrightarrow 2\left( {{\tan }^{2}}x+2+{{\cot }^{2}}x \right)+3\left( \tan x+\cot x \right)-2=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{\left( \tan x+\cot x \right)}^{2}}+3\left( \tan x+\cot x \right)-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x+\cot x=-2 \\ & \tan x+\cot x=\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
TH1:
\(\begin{aligned} & \tan x+\cot x=-2 \\ & \Leftrightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=-2 \\ & \Rightarrow {{\tan }^{2}}x+2\tan x+1=0 \\ & \Leftrightarrow \tan x=-1 \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{-\pi }{4}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
TH2:
\(\begin{aligned} & \tan x+\cot x=\dfrac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow 2{{\tan }^{2}}x-\tan x+2=0 \\ \end{aligned} \)
(Vô nghiệm)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\dfrac{-\pi }{4}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \)
\(\begin{aligned} & \sin x-\dfrac{1}{\sin x}={{\sin }^{2}}x-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\ & \Leftrightarrow \sin x-{{\sin }^{2}}x-\left( \dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \sin x\left( 1-\sin x \right)-\dfrac{\sin x-1}{{{\sin }^{2}}x}=0 \\ & \Leftrightarrow \left( 1-\sin x \right)\left( \sin x+\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)=0 \\ & \Rightarrow \left( 1-\sin x \right)\left( {{\sin }^{3}}x+1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x=1 \\ & \sin x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \)
c) ĐKXĐ: \( \cos 3x \ne 0\)
\(\begin{aligned} & \cos x\tan 3x=\sin 5x \\ & \Rightarrow \cos x\sin 3x=\sin 5x\cos 3x \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( \sin 4x+\sin 2x \right)=\dfrac{1}{2}\left( \sin 8x+\sin 2x \right) \\ & \Leftrightarrow \sin 4x=\sin 8x \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 8x=4x+k2\pi \\ & 8x=\pi -4x+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{k\pi }{2} \\ & x=\dfrac{\pi }{12}+\dfrac{k\pi }{6} \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
d) ĐKXĐ: \(x\ne k\dfrac{\pi }{2}\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
\(\begin{aligned} & 2{{\tan }^{2}}x+3\tan x+2{{\cot }^{2}}x+3\cot x+2=0 \\ & \Leftrightarrow 2\left( {{\tan }^{2}}x+2+{{\cot }^{2}}x \right)+3\left( \tan x+\cot x \right)-2=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{\left( \tan x+\cot x \right)}^{2}}+3\left( \tan x+\cot x \right)-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x+\cot x=-2 \\ & \tan x+\cot x=\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
TH1:
\(\begin{aligned} & \tan x+\cot x=-2 \\ & \Leftrightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=-2 \\ & \Rightarrow {{\tan }^{2}}x+2\tan x+1=0 \\ & \Leftrightarrow \tan x=-1 \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{-\pi }{4}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
TH2:
\(\begin{aligned} & \tan x+\cot x=\dfrac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow 2{{\tan }^{2}}x-\tan x+2=0 \\ \end{aligned} \)
(Vô nghiệm)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\dfrac{-\pi }{4}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \)
Tham khảo lời giải các bài tập Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp khác
Giải bài 1.25 trang 37 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải các phương trình...
Giải bài 1.26 trang 37 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải các phương...
Giải bài 1.27 trang 37 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải các phương trình...
Giải bài 1.28 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải các phương trình...
Giải bài 1.29 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải các phương trình...
Giải bài 1.30 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải các phương trình...
Giải bài 1.31 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Giải phương...
Giải bài 1.32 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Nghiệm của phương...
Giải bài 1.33 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Nghiệm của phương...
Giải bài 1.34 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho phương...
Giải bài 1.35 trang 39 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Nghiệm của phương...
Giải bài 1.36 trang 39 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Nghiệm của phương...
Giải bài 1.37 trang 39 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Nghiệm của phương...
Giải bài 1.38 trang 39 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11 Cho phương...
Mục lục Lớp 11 theo chương
Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Hình học 11 SGK (Nâng cao)
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11
Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) - Phần 1: Lịch Sử Thế Giới Cận Đại (tiếp theo)
A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới - Giải bài tập SGK Địa lý 11
Phần 1: Công dân với kinh tế - Giải bài tập SGK GDCD 11
Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) - Phần 2: Lịch Sử Thế Giới Hiện Đại (từ năm 1917 đến năm 1945)
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 1: Điện tích - Điện trường - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX - Phần 3: Lịch Sử Việt Nam (1858 - 1918)
Chương 1: Sự điện li - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng - Phần 2: Quang hình học
Chương 1: Sự điện li - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Hình học 11
Chương 1 - Điện tích - Điện trường - Phần 1: Điện học, điện từ học
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 SGK (Nâng cao)
Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng - Phần 4: Sinh học cơ thể
Chương 2: Cảm ứng - Phần 4: Sinh học cơ thể
Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song - Hình học 11 SGK (Nâng cao)
B - Địa lý khu vực và quốc gia - Giải bài tập SGK Địa lý 11
Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11
Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội - Giải bài tập SGK GDCD 11
Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) - Phần 1: Lịch Sử Thế Giới Cận Đại (tiếp theo)
Chương 2 - Dòng điện không đổi - Phần 1: Điện học, điện từ học
Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) - Phần 2: Lịch Sử Thế Giới Hiện Đại (từ năm 1917 đến năm 1945)
Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 2: Dòng điện không đổi - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) - Phần 3: Lịch Sử Việt Nam (1858 - 1918)
Chương 2: Nitơ - Photpho - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang - Phần 2: Quang hình học
Chương 2: Nhóm Nitơ - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song - Hình học 11
Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 SGK (Nâng cao)
Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc - Hình học 11 SGK (Nâng cao)
Chương 3: Sinh trưởng và phát triển - Phần 4: Sinh học cơ thể
Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11
Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại - Phần 1: Lịch Sử Thế Giới Cận Đại (tiếp theo)
Chương 3: Nhóm Cacbon - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường - Phần 1: Điện học, điện từ học
Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) - Phần 2: Lịch Sử Thế Giới Hiện Đại (từ năm 1917 đến năm 1945)
Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 3: Dòng điện trong các môi trường - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 3: Cacbon - Silic - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian - Hình học 11
Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 SGK (Nâng cao)
Chương 4: Sinh sản - Phần 4: Sinh học cơ thể
Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11
Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 4 - Từ trường - Phần 1: Điện học, điện từ học
Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) - Phần 2: Lịch Sử Thế Giới Hiện Đại (từ năm 1917 đến năm 1945)
Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 4: Từ trường - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 SGK (Nâng cao)
Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11
Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 5: Cảm ứng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 5 - Cảm ứng điện từ - Phần 1: Điện học, điện từ học
Chương 5: Hiđrocacbon no - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11 SGK (Nâng cao)
Chương 5: Hidrocacbon no - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 6: Khúc xạ ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 6: Hiđrocacbon không no - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 6: Hidrocacbon không no - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
+ Mở rộng xem đầy đủ