Giải bài 1 trang 178 – SGK môn Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số \(y=\cos 2x\).

a) Chứng minh rằng \(\cos 2\left( x+k\pi \right)=\cos 2x\) với mọi số nguyên \(k\). Từ đó vẽ đồ thị \((C )\) của hàm số \(y=\cos 2x\);

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C )\) tại điểm có hoành độ \(x=\dfrac{\pi }{3}\);

c) Tìm tập xác định của hàm số \(z=\sqrt{\dfrac{1-\cos 2x}{1+{{\cos }^{2}}2x}} \).

Lời giải:

a) Ta có: \( \cos 2\left( x+k\pi \right)=\cos \left( 2x+k2\pi \right)=\cos 2x,\,\,\,\forall k\in \mathbb Z\)

Hàm số \(y=\cos 2x\) là hàm tuần hoàn với chu kì \( \pi \) và \(y=\cos 2x\) là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua \( Oy\).

Nên ta vẽ đồ thị \(y=\cos 2x\) trên đoạn \(\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]\) rồi lấy đối xứng qua \(Oy\), được đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ \dfrac{-\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\). Cuối cùng tịnh tiến song song với trục \( Ox \) các đoạn độ dài \(\pi\) ta được đồ thị hàm số \(y=\cos 2x\) trên \(\mathbb R\)

\(\begin{align} & y=\cos 2x\Rightarrow y'=-2\sin 2x \\ & \Rightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)=y'\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=-2\sin \dfrac{2\pi }{3}=-\sqrt{3} \\ \end{align} \)

Điểm có hoành độ \({{x}_{0}}=\dfrac{\pi }{3}\) có tung độ \({{y}_{0}}=\cos \dfrac{2\pi }{3}=-\dfrac{1}{2}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C )\) tại \(\left( \dfrac{\pi }{3};-\dfrac{1}{2} \right)\) là:

\(y+\dfrac{1}{2}=-\sqrt{3}\left( x-\dfrac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow y=-\sqrt{3}x+\dfrac{\pi \sqrt{3}}{3}-\dfrac{1}{2}\)

c) Hàm số \(z\) xác định khi: \(1-\cos 2x\ge 0\Leftrightarrow \cos 2x\le 1\) đúng với mọi \(x\).

Vậy tập xác định là \(D=\mathbb{R} \)

Ghi nhớ:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại tiếp điểm \((x_0;y_0)\) là
\(y-y_0=f’(x_0)(x-x_0)\)

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài tập ôn tập cuối năm

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ