Giải bài 3 trang 179 – SGK môn Đại số và Giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) \( 2\sin \dfrac{x}{2}{{\cos }^{2}}x-2\sin \dfrac{x}{2}{{\sin }^{2}}x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x;\)
b) \(3\cos x+4\sin x=5\);
c) \(\sin x+\cos x=1+\cos x\sin x ;\)
d) \(\sqrt{1-\cos x}=\sin x\,\,\,\,\left( x\in \left[ \pi ;3\pi \right] \right) \);
e) \(\left( \cos \dfrac{x}{4}-3\sin x \right)\sin x+\left( 1+\sin \dfrac{x}{4}-3\cos x \right)\cos x=0 \).
Hướng dẫn:
Đưa các phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản rồi giải.
a)
\( \begin{aligned} & 2\sin \dfrac{x}{2}{{\cos }^{2}}x-2\sin \dfrac{x}{2}{{\sin }^{2}}x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \\ & \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{x}{2}\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \\ & \Leftrightarrow \left( 2\sin \dfrac{x}{2}-1 \right)\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 2\sin \dfrac{x}{2}=1 \\ & {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}. \)
TH1:
\(\begin{aligned} & 2\sin \dfrac{x}{2}=1\Leftrightarrow \sin \dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ & \dfrac{x}{2}=\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{3}+k4\pi \\ & x=\dfrac{5\pi }{3}+k4\pi \\ \end{aligned} \right.,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
TH2:
\( \begin{aligned} & {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=0 \\ & \Leftrightarrow \cos 2x=0 \\ & \Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2},\,\,k\in \mathbb{Z} \\ \end{aligned} \)
b)
\( \begin{aligned} & 3\cos x+4\sin x=5 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\cos x+\dfrac{4}{5}\sin x=1 \\ & \Leftrightarrow \sin \alpha \cos x+\cos \alpha \sin x=1 \\ & \Leftrightarrow \sin \left( \alpha +x \right)=1 \\ & \Leftrightarrow \alpha +x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ & \Leftrightarrow x=-\alpha +\dfrac{\pi}{{2}}+k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \\ \end{aligned}\)
Trong đó: \(\sin \alpha =\dfrac{3}{5};cos\alpha =\dfrac{4}{5}\)
c)
\(\begin{aligned} & \sin x+\cos x=1+\cos x\sin x \\ & \Leftrightarrow \sin x\left( 1-\cos x \right)-(1-\cos x)=0 \\ & \Leftrightarrow \left( 1-\cos x \right)\left( \sin x -1\right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x=1 \\ & \sin x=1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}& x=k2\pi\\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
d)
\( \begin{aligned} & \sqrt{1-\cos x}=\sin x \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \sin x\ge 0 \\ & 1-\cos x={{\sin }^{2}}x \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \sin x\ge 0 \\ & 1-\cos x=1-{{\cos }^{2}}x \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \sin x\ge 0 \\ & \left[ \begin{aligned} & \cos x=0 \\ & \cos x=1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x=1 \\ & \cos x=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Vì \(x\in \left[ \pi ;3\pi \right]\) nên tập nghiệm \(S=\left\{ 2\pi ;\dfrac{5\pi }{2} \right\} \)
e)
\(\begin{aligned} & \left( \cos \dfrac{x}{4}-3\sin x \right)\sin x+\left( 1+\sin \dfrac{x}{4}-3\cos x \right)\cos x=0 \\ & \Leftrightarrow \cos \dfrac{x}{4}\sin x+\sin \dfrac{x}{4}\cos x+\cos x-3\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \sin \left( x+\dfrac{x}{4} \right)+\cos x-3=0 \\ & \Leftrightarrow \sin \dfrac{5x}{4}+\cos x=3 \\ \end{aligned} \)
Vì \(\sin \dfrac{5x}{4}\le 1;\,\,\cos x\le 1\) nên \(VT \le 2, VP =3 >2.\)
Do vậy phương trình đã cho vô nghiệm.