Giải bài 20 trang 181 – SGK môn Đại số và Giải tích 11
Cho các hàm số
\(\begin{align} & f\left( x \right)={{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\,\,\,\,(C) \\ & g\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+1 \\ \end{align}\)
Với các số \(b, c, d\) tìm được ở bài 19, hãy:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ \(x=-1\);
b) Giải phương trình \(f’(\sin x)=0\)
c) Tìm \(\lim\limits_{x\to 0}\,\dfrac{f''\left( \sin 5x \right)+1}{g'\left( \sin 3x \right)+3}\)
Gợi ý:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \((x_0;y_0)\) có dạng: \(y=f'(x_0) (x-x_0)+y_0\)
a)
Theo bài 19, ta có:
\(\begin{aligned} & f\left( x \right)={{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2} \\ & \Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-x \\ \end{aligned} \)
Điểm có hoành độ bằng \(-1\) thuộc \( (C ) \) thì có tung độ là \(-3\).
Ta có:
\({{x}_{0}}=-1;\,{{y}_{0}}=-3;\,f'\left( {{x}_{0}} \right)=4 \)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(( C)\) tại \((-1;-3)\) là:
\(y+3=4\left( x+1 \right)\Leftrightarrow y=4x+1 \)
b)
\(\begin{aligned} & f'\left( \sin x \right)=3{{\sin }^{2}}x-\sin x=0 \\ & \Leftrightarrow \sin x\left( 3\sin x-1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x=0 \\ & \sin x=\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=k\pi \\ & x=\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi \\ & x=\pi -\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)
c)
Ta có:
\( \begin{aligned} & f''\left( x \right)=6x-1;\,g'\left( x \right)=2x-3 \\ & \Rightarrow f''\left( \sin 5x \right)=6\sin 5x-1;\,g'\left( \sin 3x \right)=2\sin 3x-3 \\ & \Rightarrow \lim\limits_{x\to 0}\,\dfrac{f''\left( \sin 5x \right)+1}{g'\left( \sin 3x \right)+3}=\lim\limits_{x\to 0}\,\dfrac{6\sin 5x}{2\sin 3x}=\lim\limits_{x\to 0}\,3.\dfrac{\sin 5x}{\sin 3x} \\ \end{aligned} \)
Ta lại có: \(\lim\limits_{x\to 0}\,\dfrac{\sin x}{x}=1\) (theo định lý 1, trang 164 SGK)
Do vậy: \(\lim\limits_{x\to 0}\,\dfrac{3\sin 5x}{\sin 3x}=\lim\limits_{x\to 0}\,\dfrac{3.5.\dfrac{\sin 5x}{5x}}{3.\dfrac{\sin 3x}{3x}}=\dfrac{15}{3}=5 \)