Giải bài 1 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Chứng minh rằng với \(n\in \mathbb N^*\), ta có các đẳng thức:

a) \(2+5+8+...+(3n-1)=\dfrac{n(3n+1)}{2}\);

b) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{2^n-1}{2^n}\);

c) \(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

Lời giải:

Hướng dẫn:
Các bước chứng minh một mệnh đề toán học liên quan đến số tự nhiên \(n\in \mathbb N^*\) là đúng với mọi n ta làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n=k (k là số tự nhiên bất kỳ)
Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

a) \(2+5+8+...+(3n-1)=\dfrac{n(3n+1)}{2}\) (1)

Với \(n=1\), ta có: \(2=\dfrac{1.4}{2}\) (đúng).

Vậy (1) đúng với \(n=1\).

Giả sử (1) đúng với \(n=k\), tức là ta có:

\(2+5+8+...+(3k-1)=\dfrac{k(3k+1)}{2}\)

Ta phải chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\), tức là phải chứng minh:

\(2+5+8+...+(3k-1)+(3k+2)=\dfrac{(k+1)(3k+4)}{2}\)

Thật vậy, ta có:

\(2+5+8+...+(3k-1)+(3k+2)=\dfrac{k(3k+1)}{2}+(3k+2)\\=\dfrac{3k^2+k+6k+4}{2}=\dfrac{3k^2+7k+4}{2}=\dfrac{(k+1)(3k+4)}{2}\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n=k+1\) nên (1) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)

b) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{2^n-1}{2^n}\)(2)

Với \(n=1\), ta có: \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-1}{2}\) (đúng) . Vậy (2) đúng với \(n=1\).

Giả sử (2) đúng với \(n=k\), tức là ta có:

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^k}=\dfrac{2^k-1}{2^k}\)

Ta chứng minh (2) đúng với \(n=k+1\) tức là phải chứng minh:
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)

Thật vậy, ta có:

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...\dfrac{1}{2^k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^k-1}{2^k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\\ =\dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)

Vậy (2) đúng với mọi \(n=k+1\) nên (2) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)

c) \(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)(3)

Với \(n=1\) ta có: \(1^2=\dfrac{1.2.3}{6}\) (đúng). Vậy (3) đúng với \(n=1\).

Giả sử (3) đúng với \( n=k\), tức là ta có:

\(1^2+2^2+3^2+...+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

Ta chứng minh (3) đúng với \(n=k+1\) tức là chứng minh:

\(1^2+2^2+3^2+...+(k+1)^2=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)

Thật vậy, ta có:

\(1^2+2^2+3^2+...+(k+1)^2=1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2\\=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\ \\=\dfrac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}\\ =\dfrac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}\\=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
Vậy (3) đúng với mọi \(n=k+1\) nên (3) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học khác • Giải bài 1 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng... • Giải bài 2 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng... • Giải bài 3 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh với mọi số... • Giải bài 4 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Cho... • Giải bài 5 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng số...

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

• Giải bài 1 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 2 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 3 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 4 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 5 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ