Giải bài 5 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là \(\dfrac{n(n-3)}{2}\)

Lời giải:

Hướng dẫn:
Các bước chứng minh một mệnh đề toán học liên quan đến số tự nhiên \(n\in \mathbb N^*\) là đúng với mọi n ta làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 4.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k > 4 (k là số tự nhiên bất kỳ)
Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

Với \(n=4\), ta có tứ giác.

Thay \(n=4\) vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là \(\dfrac{4(4-3)}{2}=2\)

Vì tứ giác có 2 đường chéo nên công thức đúng.

Vậy khẳng định trên đề bài đúng với \(n=4\).

Giả sử đa giác lồi \(k\) cạnh (\(k\ge 4\)) có số đường chéo là \(\dfrac{k(k-3)}{2}\) (giả thiết quy nạp)

Xét đa giác lồi \(k+1\) cạnh.

Ta phải chứng minh công thức đúng với \(k+1\), nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi \(k+1\) cạnh có số đường chéo là \(\dfrac{(k+1)[(k+1)-3]}{2}\)

Nối \(A_1\) và \(A_k\), ta được đa giác \( k\) cạnh \(A_1A_2...A_k \) có \(\dfrac{n(n-3)}{2}\) đường chéo.

Nối \(A_{k+1}\) với các định \(A_2, A_3, ..., A_{k-1}\), ta được thêm \(k-2\) đường chéo ngoài ra \(A_1A_k\) cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác \(k+1\) cạnh là:

\(\dfrac{k(k-3)}{2}+k-2+1=\dfrac{{{k}^{2}}-k-2}{2}=\dfrac{(k+1)\left[ \left( k+1 \right)-3 \right]}{2}\)

Vậy khẳng định cũng đúng với đa giác \( k+1\) cạnh.
Do đó số đường chéo của đa giác lồi n cạnh là \(\dfrac{n(n-3)}{2}\)đường chéo (\(n\ge 4\))

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học khác • Giải bài 1 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng... • Giải bài 2 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng... • Giải bài 3 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh với mọi số... • Giải bài 4 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Cho... • Giải bài 5 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng số...

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

• Giải bài 1 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 2 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 3 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 4 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 • Giải bài 5 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ