Giải bài 2 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Chứng minh rằng với \(n\in \mathbb N^*\) ta có:
a) \( n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3;
b) \(4^n+15n-1\) chia hết cho 9;
c) \(n^3+11n\) chia hết cho 6.
Hướng dẫn:Các bước chứng minh một mệnh đề toán học liên quan đến số tự nhiên \(n\in \mathbb N^*\) là đúng với mọi n ta làm như sau:Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1.Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n=k (k là số tự nhiên bất kỳ)Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
a) \(n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3 (1)
Đặt \(S_n=n^3+3n^2+5n\)
Với \(n=1\), ta có: \(S_1=9\,\vdots\, 3\).
Vậy (1) đúng với \(n=1\).
Giả sử (1) đúng với \(n=k\), tức là: \(S_k=k^3+3k^2+5k\,\vdots\,3\)
Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\) tức là chứng minh \(S_{k+1}\,\vdots\, 3\)
Thật vậy, ta có:
\(S_{k+1}=(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)\\=k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5\\=k^3+3k^2+5k+3(k^2+3k+3)\,\vdots \,3 (\text{vì}\,S_k\,\vdots\, 3)\)
Vậy \(S_n\,\vdots\, 3\) với mọi \( n \in \mathbb N^*\)
b) \(4^n+15n-1\) chia hết cho 9 (2)
Đặt \(S_n=4^n+15n-1\).
Với \(n=1\), ta có: \(S_1=18\,\vdots\,9\)
Vậy (2) đúng với \(n=1\)
Giả sử (2) đúng với \(n=k\), tức là: \(S_k\,\vdots\, 9\Leftrightarrow 4^k+15k-1\,\vdots\,9\Rightarrow 4^k+15k-1=9m \,\,(m\in \mathbb N^*) \)
\(S_{k+1}=4^{k+1}+15(k+1)-1=4.4^k+15k+14\\=4(9m-15k+1)+15k+14=36m-45k+18\,\vdots\,9\)
Vậy (2) đúng với mọi \(n =k+1\) nên đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\).
c) \(n^3+11n\) chia hết cho 6 (3)
Đặt \(S_n=n^3+11n.\)
Với \(n=1\) ta có: \(S_1=12\,\vdots\,6\)
Giả sử (3) đúng với \(n=k\) tức là ta có: \(S_k\,\vdots\,6\Leftrightarrow k^3+11k\,\vdots\,6\)
Ta phải chứng minh \(S_{k+1}\,\vdots\,6\)
Thật vậy:
\(S_{k+1}=(k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11\\=k^3+11k+3(k^2+k+4)\\=k^3+11k+3[k(k+1)+4]\,\)
Ta có: \(S_k=k^3+11k\,\vdots\,6\)
\(k(k+1)\) là số chẵn nên \(k(k+1)+4\) là số chẵn. Suy ra, \(3[k(k+1)+4]\,\vdots\,6\)
Do vậy, \(S_{k+1}\,\vdots\,6\)
Vậy (3) đúng với mọi \(n=k+1\) nên (3) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*.\)