Giải bài 3 trang 37 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Giải các phương trình:
a) \(\sin^2\dfrac{x}{2}-2\cos\dfrac{x}{2}+2=0\);
b) \(8\cos^2x+2\sin x-7=0\);
c) \(2\tan^2x+3\tan x+1=0\);
d) \( \tan x - 2 \cot x+1=0\)
Gợi ý:
Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản:
\(\sin^2 f(x)+\cos^2 f(x)=1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos\alpha\)
\(\tan \alpha =\dfrac 1 {\cot \alpha}\)
a) \(\sin^2\dfrac{x}{2}-2\cos\dfrac{x}{2}+2=0\)
Ta có: \(\sin^2\dfrac{x}{2}=1-\cos^2\dfrac{x}{2}\) phương trình tương đương với:
Đặt \(\cos\dfrac{x}{2}=t\,\,(-1\le t \le 1)\)
Phương trình trở thành:
\(\begin{aligned} & {{t}^{2}}+2t-3=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=1\,\,\,(\text{thỏa mãn}) \\ & t=-3\,\,\,\,(\text{loại}) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
\(+)\,\,t=1\Rightarrow \cos \dfrac{x}{2}=1\\\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=k2\pi\\\Leftrightarrow x=k4\pi\,\,\,(k\in\mathbb Z)\)
b) \(8\cos^2x+2\sin x-7=0\)
Ta có: \(\cos^2x=1-\sin^2x\) phương trình tương đương với:
\(8(1-\sin^2x)+2\sin x-7=0\\\Leftrightarrow8\sin^2x-2\sin x-1=0\)
Đặt \(\sin x =t\,\,\, (-1\le t\le 1)\).
\(\begin{aligned} & 8{{t}^{2}}-2t-1=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=\dfrac{1}{2}\,\,\,(\text{thỏa mãn}) \\ & t=\dfrac{-1}{4}\,\,\,\,(\text{thỏa mãn}) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
\(+) \,\,t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \sin x=\dfrac{1}{2}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,(k\in \mathbb{Z}) \)
\(+)\,\,t=\dfrac{-1}{4}\\\Rightarrow \sin x=\dfrac{-1}{4}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\arcsin\dfrac{-1}{4}+k2\pi \\ & x=\pi-\arcsin\dfrac{-1}{4}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,(k\in \mathbb{Z}) \)
c) \(2\tan^2x+3\tan x+1=0\)
Đặt \(\tan x =t\), phương trình trở thành:
\(\begin{aligned} & 2{{t}^{2}}+3t+1=0\\&\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=-1 \\ & t=-\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right.\\&\Rightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=-1 \\ & \tan x=\dfrac{-1}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{-\pi }{4}+k\pi \\ & x=\arctan \left( \dfrac{-1}{2} \right)+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)
d) Với \(\tan x\ne 0\), ta có:
\(\begin{aligned} & \tan x-2\cot x+1=0\\&\Leftrightarrow \tan x-\dfrac{2}{\tan x}+1=0 \\ & \Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x+\tan x-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=1 \\ & \tan x=-2 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\arctan (-2)+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)