Giải bài 44 trang 122 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao

Chứng minh rằng

\({{1.2}^{2}}+{{2.3}^{2}}+...+\left( n-1 \right){{n}^{2}}=\dfrac{n\left( {{n}^{2}}-1 \right)\left( 3n+2 \right)}{12}\) (1)

Với mọi số nguyên \(n \ge 2\)

Lời giải:

Với \(n=2\), ta có: \({{1.2}^{2}}=4=\dfrac{2.\left( 4-1 \right)\left( 6+2 \right)}{12}\) nên (1) đúng.

Giả sử (1) đúng với \(n=k\), tức là: \({{1.2}^{2}}+{{2.3}^{2}}+...+\left( k-1 \right){{k}^{2}}=\dfrac{k\left( {{k}^{2}}-1 \right)\left( 3k+2 \right)}{12} \)

Ta chứng minh (1) cũng đúng với \(n=k+1\), thật vậy ta có:

\(\begin{aligned} & {{1.2}^{2}}+{{2.3}^{2}}+...+\left( k-1 \right){{k}^{2}}+k{{\left( k+1 \right)}^{2}} \\ & =\dfrac{k\left( {{k}^{2}}-1 \right)\left( 3k+2 \right)}{12}+k{{\left( k+1 \right)}^{2}} \\ & =\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( k-1 \right)\left( 3k+2 \right)+12k{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{12} \\ & =\dfrac{k\left( k+1 \right)\left[ \left( k-1 \right)\left( 3k+2 \right)+12\left( k+1 \right) \right]}{12} \\ & =\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( 3{{k}^{2}}+11k+10 \right)}{12} \\ & =\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 3k+5 \right)}{12} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left( {{k}^{2}}+2k \right)\left( 3k+5 \right)}{12} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left[ {{\left( k+1 \right)}^{2}}-1 \right]\left[ 3\left( k+1 \right)+2 \right]}{12} \\ \end{aligned} \)

Vậy (1) đúng với \( n=k+1\), hay là (1) đúng với mọi n nguyên dương.

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 3

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ