Giải bài 8 trang 190 SGK giải tích nâng cao 12
Chứng minh rằng:
a) Nếu vectơ \(\overrightarrow{u}\) của mặt phẳng phức biểu diễn số phức \(z\) thì độ dài của vectơ \(\overrightarrow{u}\) là \(\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| z \right|\), và từ đó nếu các điểm \({{A}_{1}},{{A}_{2}}\) theo thức tự biểu diễn các số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thì \(\left| \overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}} \right|=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right|\);
b) Với mọi số phức \(z,z'\), ta có \(\left| zz' \right|=\left| z \right|\left| z' \right|\) và khi \(z\ne 0\) thì \(\left| \dfrac{z'}{z} \right|=\dfrac{\left| z' \right|}{\left| z \right|} \);
c) Với mọi số phức \(z,z'\), ta có \(\left| z+z' \right|\le \left| z \right|+\left| z' \right|\).
a) Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\). Khi đó \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)
Vectơ \(\overrightarrow{u}\) của mặt phẳng phức biểu diễn số phức \(z\) thì \(\overrightarrow{u}=\left( a,b \right)\).
Suy ra \(\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}|=\left| z \right|\).
Nếu \({{A}_{1}},{{A}_{2}}\) theo thức tự biểu diễn các số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thì \(\overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=\overrightarrow{O{{A}_{2}}}-\overrightarrow{O{{A}_{1}}}\) biểu diễn \({{z}_{2}}-{{z}_{1}}\) nên \(\left| \overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}} \right|=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right|\).
b) +) Giả sử các số phức \(z=a+bi,z'=a'+b'i\) thì \({{\left| z \right|}^{2}}=a{^{2}}+b{^{2}},{{\left| z' \right|}^{2}}=a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}\) và \(zz'=\left( aa'-bb' \right)+\left( ab'+a'b \right)i \)
\(\begin{aligned} \Rightarrow {{\left| zz' \right|}^{2}}&={{\left( aa'-bb' \right)}^{2}}+{{\left( ab'+a'b \right)}^{2}} \\ & ={{\left( aa' \right)}^{2}}+{{\left( bb' \right)}^{2}}+{{\left( ab' \right)}^{2}}+{{\left( a'b \right)}^{2}} \\ & =\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}} \right) \\ & ={{\left| z \right|}^{2}}.{{\left| z' \right|}^{2}} \\ \end{aligned} \)
\(\Rightarrow \left| zz' \right|=\left| z \right|.\left| z' \right|\).
+) Với \(z\ne 0\) ta có
\(\left| \dfrac{z'}{z} \right|=\left| \dfrac{z'\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}} \right|=\dfrac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}.\left| z'.\overline{z} \right|=\dfrac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}.\left| \overline{z} \right|.\left| z' \right|=\dfrac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}.\left| z \right|.\left| z' \right|=\dfrac{\left| z' \right|}{\left| z \right|} \)
c) Giả sử \(\overrightarrow{u}\) biểu diễn số phức \(z\) và \(\overrightarrow{u'}\) biểu diễn số phức \(z'\) thì \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'}\) biểu diễn số phức \(z+z'\).
Theo câu a, ta có: \(\left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'} \right|=\left| z+z' \right|;\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| z \right|,\left| \overrightarrow{u'} \right|=\left| z' \right|\)
Mà \(\left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'} \right|\le \left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{u'} \right|\)
Suy ra \(\left| z+z' \right|\le \left| z \right|+\left| z' \right|\).
Dấu "=" xảy ra khi \(z=0\) hoặc \(z'=0\).