Giải bài 9 trang 190 SGK giải tích nâng cao 12
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) \(\left| z-i \right|=1;\) b) \(\left| \dfrac{z-i}{z+i} \right|=1;\) c) \(\left| z \right|=\left| \overline{z}-3+4i \right|\).
Gọi số phức \(z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right) \)
a) Ta có: \( \left\{ \begin{aligned} & z-i=a+bi-i=a+\left( b-1 \right)i \\ & z+i=a+bi+i=a+\left( b+1 \right)i \\ \end{aligned} \right. \)
\(\left| z-i \right|=1 \\ \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}=1 \\ \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=1 \)
Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( 0;1 \right)\), bán kính \(R=1 .\)
b) \(\left| \dfrac{z-i}{z+i} \right|=1 \)
\(\Leftrightarrow \left| z-i \right|=\left| z+i \right| \\ \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}} \\ \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}} \\ \Leftrightarrow b=0 \)
Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là trục tung.
c) Ta có
\( \begin{aligned} \overline{z}-3+4i&=a-bi-3+4i \\ & =\left( a-3 \right)+\left( -b+4 \right)i \\ \end{aligned} \)
\(\Rightarrow \left| z \right|=\left| \overline{z}-3+4i \right| \\ \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( -b+4 \right)}^{2}}} \\ \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( -b+4 \right)}^{2}} \\ \Leftrightarrow 6a+8b-25=0 \)
Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình \(6x+8y-25=0\).