Giải bài 1 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) \(y={{x}^{2}},\,y=x+2\);
b) \(y=\left| \ln x \right|,\,y=1\);
c) \(y={{\left( x-6 \right)}^{2}},\,y=6x-{{x}^{2}}\).
Hướng dẫn: Muốn tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong \(f_1(x)\,\text{và}\,f_2(x)\) ta làm như sau:
Tìm nghiệm của phương trình \(f_1(x)-f_2(x)=0\) (giả sử là a và b).
Khi đó, diện tích cần tìm \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right) \right|}dx\)
a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là
\({{x}^{2}}=x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right. \)
Diện tích hình phẳng đã cho là
\(\begin{aligned} S&=\int\limits_{-1}^{2}{\left| {{x}^{2}}-\left( x+2 \right) \right|dx} \\ & =\int\limits_{-1}^{2} {\left( x+2-{{x}^{2}} \right)dx} \\ & =\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ -1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 2 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =2+4-\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{2}+2-\dfrac{1}{3} \\ & =\dfrac{9}{2}\,(\text{đvdt}) \\ \end{aligned} \)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là
\(\left| \ln x \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \ln x=1 \\ & \ln x=-1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=e \\ & x=\dfrac{1}{e} \\ \end{aligned} \right. \)
Diện tích hình phẳng đã cho là
\(\begin{aligned} S&=\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\left| 1-\left| \ln x \right| \right|dx} \\ & =\int\limits_{\frac{1}{e}}^{1}{\left( 1+\ln x \right)dx}+\int\limits_{1}^{e}{\left( 1-\ln x \right)dx} \\ \end{aligned} \)
Tính \(\int{\ln xdx}\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & \ln x=u \\ & dx=dv \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=\dfrac{1}{x}dx \\ & v=x \\ \end{aligned} \right. \)
\(\int{\ln xdx}=x\ln x-\int{dx=x\ln x-x+C}\)
Vậy một nguyên hàm của hàm số \(y=\operatorname{lnx}\) là \(F\left( x \right)=x\ln x-x\)
\(\begin{aligned} \Rightarrow S&=x\ln x\left| _{\frac{1}{e}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \end{smallmatrix}}\,+\left( 2x-x\ln x \right) \right.\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} e \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{1}{e}+2e-e-2 \\ & =\dfrac{{{\left( e-1 \right)}^{2}}}{e} \,(\text{đvdt})\\ \end{aligned} \)
c) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là
\(\begin{aligned} & {{\left( x-6 \right)}^{2}}=6x-{{x}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-12x+36=6x-{{x}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-9x+18=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=3 \\ & x=6 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Diện tích hình phẳng đã cho là
\(\begin{aligned} S&=\int\limits_{3}^{6}{\left| {{\left( x-6 \right)}^{2}}-\left( 6x-{{x}^{2}} \right) \right|dx} \\ & =2\int\limits_{3}^{6}{\left| {{x}^{2}}-9x+18 \right|dx} \\ & =2\int\limits_{3}^{6}{\left( -{{x}^{2}}+9x-18 \right)dx} \\ & =2\left( -\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{9{{x}^{2}}}{2}-18x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 3 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 6 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =2\left( -72+162-108+9-\dfrac{81}{2}+54 \right) \\ & =9\,(\text{đvdt}) \\ \end{aligned} \)