Giải bài 4 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox.
a) \(y=1-x^2,\,y=0\);
b) \(y=cosx,\,y=0,\,x=0,\,x=\pi\);
c) \(y=tan x,\,y=0,\,x=0,\,x=\dfrac{x}{4}\).
Gợi ý:
Công thức tính thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y= f(x)\) và \(x= a, x=b\) quanh trục Ox là:
\(V=\pi\int\limits_{a}^{b}f^2(x)dx\)
a) Giao điểm của parabol và trục hoành là \(1-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)
Thể tích cần tìm là
\(\begin{aligned} & V=\pi \int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}dx} \\ & =\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left( 1-2{{x}^{2}}+{{x}^{4}} \right)dx} \\ & =\pi \left( x-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{{{x}^{5}}}{5} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ -1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\pi \left( 1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}+1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5} \right) \\ & =\dfrac{16\pi }{15} \,(\text{đvtt})\\ \end{aligned} \)
b) Thể tích cần tìm là
\(\begin{aligned} & V=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\cos }^{2}}xdx} \\ & =\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\dfrac{1+\cos 2x}{2}dx} \\ & =\pi \left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} \pi \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\pi .\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{2} \,(\text{đvtt}) \\ \end{aligned} \)
c) Thể tích cần tìm là
\(\begin{aligned} & V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}xdx }=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}dx} \\ & =\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\dfrac{1-{{\cos }^{2}} x}{{{\cos }^{2}}x}dx=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)dx}} \\ & =\pi \left( \tan x-x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\frac{\pi }{4}} \right.=\pi \left( 1- \dfrac{\pi }{4} \right)\,\left( \text{đvtt} \right) \\ \end{aligned} \)