Giải bài 3 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12

Parabol \(y=\dfrac{x^2}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt{2}\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Lời giải:

Phương pháp:
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm của hai đường cong.
Bước 2: Tính diện tích của hình phẳng bằng công thức: \(\begin{aligned} S& =\int\limits_{a}^{b}{\left(f_1(x)-f_2(x)\right)dx} \end{aligned}\)

Phương trình đường tròn tâm O, bán kính \(2\sqrt{2}\) là

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\)

Phương trình tung độ giao điểm của hai đường cong là

\({{y}^{2}}+2y-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & y=-4\,\left( \text{loại} \right) \\ & y=2 \\ \end{aligned} \right. \\ y=2\Leftrightarrow x=\pm 2 \)

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol và đường tròn là

\(\begin{aligned} S& =\int\limits_{-2}^{2}{\left( \sqrt{8-{{x}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)dx} \\ & =\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}dx}-\dfrac{{{x}^{3}}}{6}\left| _{\begin{smallmatrix} \\ -2 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 2 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =I-\dfrac{8}{3} \end{aligned}\)

Đặt \(x=2\sqrt{2}\sin t\Rightarrow dx=2\sqrt{2}\cos tdt \)

Đổi cận

x	\( -2\)	2
t	\(-\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)

\(\begin{aligned} I&=2\sqrt{2}\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt{8-8{{\sin }^{2}}t}}\cos tdt \\ & =8\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos } ^{2}}tdt}=4\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 1+\cos 2t \right)dt} \\ & =\left( 4t+2\sin 2t \right)\left| _{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} \right. \\ & =\pi +2+\pi +2 \\ & =2\pi +4 \\ \end{aligned}\\ \Rightarrow S=2\pi +4-\dfrac{8}{3}=2\pi +\dfrac{4}{3}\,(\text{đvdt}) \)

Diện tích phần còn lại là

\(S'=\pi(2\sqrt{2})^2-2\pi-\dfrac{4}{3}=6\pi-\dfrac{4}{3}\) (đvdt)

Tỉ số diện tích cần tìm là

\(\dfrac{S}{S'}=\dfrac{2\pi+\dfrac{4}{3}}{6\pi-\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3\pi+2}{9\pi-2}\)

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học khác • Giải bài 1 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tính diện tích hình... • Giải bài 2 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tính diện tích hình... • Giải bài 3 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 Parabol \(y=\dfrac{x^2}{2... • Giải bài 4 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tính thể tích khối... • Giải bài 5 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 Cho tam giác vuông OPM có...

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

• Giải bài 1 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 • Giải bài 2 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 • Giải bài 3 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 • Giải bài 4 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12 • Giải bài 5 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ