Giải bài 3.2 trang 163 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

a) \(F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+1}{2x-3}\) và \(G\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+10}{2x-3}\)

b) \(F\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}\) và \(G\left( x \right)=10+{{\cot }^{2}}x\)

Lời giải:

a) Ta có:

\(\begin{align} & F'\left( x \right)=\frac{\left( {{x}^{2}}+6x+1 \right)'\left( 2x-3 \right)-\left( {{x}^{2}}+6x+1 \right)\left( 2x-3 \right)'}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( 2x+6 \right)\left( 2x-3 \right)-2\left( {{x}^{2}}+6x+1 \right)}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{2{{x}^{2}}-6x-20}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)

Mà \(F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+1}{2x-3}=\dfrac{{{x}^{2}}+10}{2x-3}+3=G\left( x \right)+3\) nên \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}-6x-20}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}}\)

b) Ta có:

\(\begin{align} & G'\left( x \right)=(10+\cot^2x)' \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2.\cot x. (\cot x)' \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-2 \cot x . \frac{1}{\sin^2 x}\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-\frac{2 \cos x}{\sin^3 x} \\ \end{align}\)

Mà \(G\left( x \right)=10+\cot ^2 x= \dfrac{1}{\sin ^2 x}+9=F\left( x \right)+9\) nên \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=-\dfrac{2\cos x}{\sin^3 x}\)

Ghi nhớ:
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F’(x) =F(x) với mọi x thuộc K

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 1: Nguyên hàm

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ