Giải bài 3.4 trang 164 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) \(\int{{{x}^{2}}\sqrt[3]{1+{{x}^{3}}}}dx\) với \(x>-1\) (đặt \(t=1+{{x}^{3}}\) );
b) \( \int{x{{e}^{-{{x}^{2}}}}}dx\) (đặt \(t={{x}^{2}}\) );
c) \(\int{\dfrac{x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}dx\) (đặt \(t=1+{{x}^{2}}\));
d) \( \int{\dfrac{1}{\left( 1-x \right)\sqrt{x}}dx}\) (đặt \(t=\sqrt{x}\));
e) \( \int{\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x}^{2}}}dx}\) (đặt \(t=\dfrac{1}{x}\)
g) \(\int{\dfrac{{{\left( \ln x \right)}^{2}}}{x}}dx\) (đặt \(t=\sqrt{x}\) );
h) \(\int{\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}}dx}\) (đặt \( t=\cos x\)
a) \(\int{{{x}^{2}}\sqrt[3]{1+{{x}^{3}}}}dx\) với \(x>-1\)
Đặt \(t=1+{{x}^{3}}\) \(\Rightarrow dt=3x^2dx\)
Ta có:
\(\int{{{x}^{2}}\sqrt[3]{1+{{x}^{3}}}}dx=\dfrac{1}{3}\int \sqrt[3]{t} dt=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{4}t^{\frac{4}{3}}+C=\dfrac{1}{4}(1+x^3)^{\frac{4}{3}}+C\)
b) \( \int{x{{e}^{-{{x}^{2}}}}}dx\)
Đặt \(t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx\)
\( \int{x{{e}^{-{{x}^{2}}}}}dx=\int e^{-t}\dfrac{dt}{2}=-\dfrac{e^{-t}}{2}+C=-\dfrac{e^{-x^2}}{2}+C\)
c) \(\int{\dfrac{x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}dx\)
Đặt \(t=1+{{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx\)
\(\int{\dfrac{x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}dx=\int \dfrac{dt}{2t^2}=-\dfrac{1}{2t}+C=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}+C\)
d) \( \int{\dfrac{1}{\left( 1-x \right)\sqrt{x}}dx}\)
Đặt \(t=\sqrt{x}\Rightarrow dt=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}\)
\(=ln\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|+C=ln\left|\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right|+C\)
e) \( \int{\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x}^{2}}}dx}\)
Đặt \(t=\dfrac{1}{x} \Rightarrow dt=-\dfrac{dx}{x^2}\)
\( \int{\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x}^{2}}}dx}=- \int \sin t.dt=cost+C=cos\dfrac{1}{x}+C\)
g) \(\int{\dfrac{{{\left( \ln x \right)}^{2}}}{x}}dx\)
Đặt \(t=ln{x}\Rightarrow dt=\dfrac{dx}{x}\)
\(\int{\dfrac{{{\left( \ln x \right)}^{2}}}{x}}dx=\int t^2dt=\dfrac{t^3}{3}+C=\dfrac{(lnx)^3}{3}+C\)
h) \(\int{\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}}dx}\)
Đặt \( t=\cos x\Rightarrow dt=-sin x dx\)
\(\int{\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}}dx}=\int \dfrac{-dt}{t^{\frac{2}{3}}}=-3t^{\frac{1}{3}}+C=-3\sqrt[3]{cosx}+C\)
Phương pháp đổi biến số
Nếu \(\int{f\left( u \right)}du=F\left( u \right)+C\) và \(u=u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
\(\int{f\left( u\left( x \right) \right)u'\left( x \right)dx=F\left( u\left( x \right) \right)+C}\)