Giải bài 3.21 trang 172 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a;a]. Chứng minh rằng

\(\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=\left\{ \begin{align} & 2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}\,\,\text{nếu}\, f \,\text{là hàm số chẵn} \\ & 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\, f \,\text{là hàm số lẻ} \\ \end{align} \right. \)

Áp dụng để tính \(\int\limits_{-2}^{2}{ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}dx\)

Lời giải:

\(\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx=\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}}+\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}\)

Đổi biến \(x=-t\)

+ Nếu \(f\) là hàm số chẵn trên đoạn [-a;a] thì \(f(-x)=f(x),\,\forall x \in [-a;a]\)

ta có: \(\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{a}^{0}{f\left( -t \right)dt}=\int\limits_{0}^{a}{f\left( t \right)dt}\)

Suy ra: \(\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}\)

+ Nếu \(f\) là hàm số lẻ trên đoạn [-a;a] thì \(f(-x)=-f(x),\,\forall x \in [-a;a] \). Suy ra \(f(-x)+f(x)=0,\,\forall x \in [-a;a] \)

Ta có: \(\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{a}^{0}{f\left( -t \right)dt}=-\int\limits_{0}^{a}{f\left( t \right)dt}\)

Khi đó \(\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0\)

Áp dụng để tính \(\int\limits_{-2}^{2}{ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}dx\)

Đặt \(g(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)

Vì \(g(x)\) là hàm số lẻ trên đoạn [-2;2] nên \(\int\limits_{-2}^{2}{ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}dx=0\)

Ghi nhớ:
Cho hàm số f(x) xác định trên D.
(i) f(x) là hàm số chẵn nếu \(f(-x)=f(x)\,\, \forall \,x \in D\)
(ii) f(x) là hàm số lẻ nếu \(f(-x)=-f(x)\,\, \forall \,x \in D\)

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 2: Tích phân

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ