Giải bài 3.23 trang 172 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12

Đặt \(I_n=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin ^nxdx}, \,\,n \in \mathbb{N^*}.\)

a) Chứng minh rằng \(I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}, \,\,\,n>2\)

b) Tính \(I_3\) và \(I_5\)

Lời giải:

a) Xét với n > 2, ta có:

\(I_n=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin ^{n-1}x\sin xdx}, \,\,n \in \mathbb{N^*}.\)

Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & u={{\sin }^{n-1}}x \\ & dv=\sin xdx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=\left( n-1 \right){{\sin }^{n-2}}x.\cos x \\ & v=-\cos x \\ \end{aligned} \right. \)

Khi đó:

\(\begin{aligned} & {{I}_{n}}=-{{\sin }^{n-1}}x.\cos x\left| \begin{aligned} & \frac{\pi }{2} \\ & 0 \\ \end{aligned} \right.+\left( n-1 \right)\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{n-2}}x{{\cos }^{2}}xdx} \\ & \,\,\,\,\,=\left( n-1 \right)\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{n-2}}x\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)dx} \\ & \,\,\,\,=\left( n-1 \right)\left( {{I}_{n-2}}-{{I}_{n}} \right) \\ & \Rightarrow {{I}_{n}}=\left( n-1 \right){{I}_{n-2}}-\left( n-1 \right){{I}_{n}} \\ & {{I}_{n}}=\frac{n-1}{n}{{I}_{n-2}} \\ \end{aligned} \)

\(\begin{aligned} & {{I}_{3}}=\frac{2}{3}{{I}_{1}}=\frac{2}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}=-\frac{2}{3}\cos x\left| \begin{aligned} & \frac{\pi }{2} \\ & 0 \\ \end{aligned} \right.=\frac{2}{3} \\ & {{I}_{5}}=\frac{4}{5}{{I}_{3}}=\frac{4}{5}.\frac{2}{3}=\frac{8}{15} \\ \end{aligned} \)

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 2: Tích phân

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ