Giải bài 3.33 trang 178 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12
Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi
a) \(y=2-x^2, y=1\), quay quanh trục Ox.
b) \(y=2x-x^2, y=x\), quay quanh trục Ox.
c) \(y=(2x+1)^\frac{1}{3}, x=0, y=3\)quay quanh trục Oy.
a) Ta có:
\(\begin{aligned} & {{V}_{x}}=\pi \int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{2}}dx}-\pi \int\limits_{-1}^{1}{dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=2\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( 4-4{{x}^{2}}+{{x}^{4}} \right)dx}-2\pi \int\limits_{0}^{1}{dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=2\pi \left( 4x-\frac{4{{x}^{3}}}{3}+\frac{{{x}^{5}}}{5} \right)\left| \begin{aligned} & 1 \\ & 0 \\ \end{aligned} \right.-2\pi \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{56\pi}{15} \\ \end{aligned} \)
b)
\(\begin{aligned} & {{V}_{x}}=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}^{2}}dx}-\pi \int\limits_{0}^{1}{x^2dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( 4x^2-4{{x}^{3}}+{{x}^{4}} \right)dx}-\pi \int\limits_{0}^{1}{x^2dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( 3x^2-4{{x}^{3}}+{{x}^{4}} \right)dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\pi \left( x^3-x^4+\frac{{{x}^{5}}}{5} \right)\left| \begin{aligned} & 1 \\ & 0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{\pi}{5} \\ \end{aligned} \)
c)
\(\begin{aligned} & {{V}_{y}}=\pi \int\limits_{1}^{3}{{{\left( \frac{{{y}^{3}}-1}{2} \right)}^{2}}dy} \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{\pi }{4}\int\limits_{0}^{1}{\left( {{y}^{6}}-2{{y}^{3}}+1 \right)dy} \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{\pi }{4}\left( \frac{{{y}^{7}}}{7}-\frac{{{y}^{4}}}{2}+y \right)\left| \begin{aligned} & 3 \\ & 1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{480}{7}\pi \\ \end{aligned} \)
Ghi nhớ:
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục trên [a;b], trục Ox và 2 đường thẳng \(x=a;x=b\) quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay được xác định bởi công thức:
\(V_x=\pi\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right) \right]^2dx} \)
Nếu đổi vai trò của x cho y, ta được:
\(V_y=\pi\int\limits_{c}^{d}{\left[ g\left( y \right) \right]^2dy} \)