Giải bài 8 trang 92 SGK Toán lớp 7 Tập 2
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A;\) đường phân giác \(BE.\) Kẻ \(EH\) vuông góc với \(BC\) (\(H ∈ BC\)). Gọi \(K\) là giao điểm của \(AB\) và \(HE.\) Chứng minh rằng:
a) \(ΔABE = ΔHBE.\)
b) \(BE\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH.\)
c) \(EK = EC.\)
d) \(AE < EC.\)
a) Chứng minh \(ΔABE = ΔHBE\)
Xét \(ΔABE\) và \(ΔHBE\) có:
\(\widehat{B_1} = \widehat{B_2}\) (do \(BE\) là phân giác của \(\widehat{B}\))
\(BE\) cạnh chung
\( \widehat{BAE} = \widehat{BHE} = 90^o\)
\(\Rightarrow ΔABE = ΔHBE\) (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Chứng minh \(BE\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH:\)
Ta có: \(ΔABE = ΔHBE\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow EA = EH\) (cặp cạnh tương ứng)
Lại có: \(BA = BH\) (giả thiết)
\(\Rightarrow B, \,E\) cùng thuộc đường trung trực của \(AH\) hay \(BE\) là đường trung trực của \(AH\)
c) Chứng minh \(EK = EC\)
Xét \(ΔAEK\) và \(ΔHEC\) có:
\(\widehat{E_1} = \widehat{E_2}\) (cặp góc đối đỉnh)
\(EA = EH\) (chứng minh trên)
\( \widehat{EAK} = \widehat{EHC} = 90^o\)
\(\Rightarrow ΔAEK = ΔHEC\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
\(\Rightarrow EK = EC\) (cặp cạnh tương ứng)
d) Trong tam giác vuông \(AEK\) có:
\(AE < EK\) (cạnh góc vuông < cạnh huyền)
Mà \(EC = EK\) (chứng minh trên)
Suy ra \(AE < EC\) (đpcm)