Giải bài 16 trang 75 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) các đường phân giác \(BD,\, CE \,\,(D ∈ AC,\, E ∈ AB)\). Chứng minh rằng \(BEDC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
a)
\(\triangle{ABC}\) cân tại \(A\) (giả thiết)
\(\Rightarrow AB = AC,\,\widehat{ABC} = \widehat{ACB} \,\,\,\,(1)\)
Lại có: \(\widehat{B_1} = \widehat{B_2} = \dfrac{\widehat{B}}{2}\) (vì \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}) \,\,\,\, (2)\)
\(\widehat{C_1} = \widehat{C_2} = \dfrac{\widehat{ACB}}{2}\) (vì \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat{ACB})\,\,\,\,\, (3)\)
Từ \((1),\, (2),\, (3) \Rightarrow \widehat{B_1} = \widehat{B_2} = \widehat{C_1} = \widehat{C_2}\)
Xét \(ΔABD\) và \(ΔACE\) có:
\(\widehat{A}\) chung
\(AB = AC\) (chứng minh trên)
\(\widehat{C_1} = \widehat{B_1}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow ΔABD = ΔACE\) (g.c.g)
\(\Rightarrow AD = AE\) (cặp cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow \triangle{AED}\) cân tại \(A\) (tính chất)
\(\Rightarrow \widehat{E_2} = \widehat{D_2}\) (định nghĩa)
Xét \(ΔAED\) và \(ΔABC\) có:
\(\widehat{A} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = \widehat{A} + \widehat{D_2} + \widehat{E_2} = 180^o\)
\(\Rightarrow \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = \widehat{D_2} + \widehat{E_2}\)
Hay \(2\widehat{ABC} = 2 \widehat{E_2}\)
\(\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{E_2}\)
\(\Rightarrow BC // ED\) (cặp góc đồng vị bằng nhau)
\(\Rightarrow BEDC\) là hình thang
b) \(ED // BC\) (theo chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{D_1} = \widehat{B_2}\) (cặp góc so le trong)
Mà \(\widehat{B_1} = \widehat{B_2}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{D_1} = \widehat{B_1}\)
\(\Rightarrow \triangle{EBD}\) cân tại \(E\) (định nghĩa)
\(\Rightarrow ED = EB\) ( đpcm )
Lưu ý: Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
+ Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.