Giải bài 18 trang 75 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Chứng minh định lý: "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang \(ABCD\,\, (AB // CD) \) có \(AC = BD.\) Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC,\) cắt đường thẳng \(DC\) tại tại \(E.\) Chứng minh rằng:
a) \(ΔBDE\) là tam giác cân.
b) \(ΔACD = ΔBDC\)
c) Hình thang \(ABCD\) là hình thang cân.
a) Ta có: \(AB // CD\) (giả thiết)
\(\Rightarrow AB // DE\) (vì \(E \in CD\))
Lại có \(AC // BE\) (giả thiết)
\(\Rightarrow AC = BE\) (tính chất đoạn chắn)
Mà \(AC = BD\) (giả thiết)
\(\Rightarrow BD = BE \)
Xét \(\triangle{BDE}\) có: \(BD = BE\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \triangle{BDE}\) cân tại \(B\) (tính chất)
b) \(\triangle{BDE}\) cân tại \(B\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{D_1} = \widehat{E}\) (định nghĩa) \((1)\)
Lại có: \(AC // BE\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \widehat{C_1} = \widehat{E}\) (cặp góc so le trong) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow \widehat{C_1} = \widehat{D_1}\)
Xét \(ΔACD\) và \(ΔBDC\) có:
\(AC = BD\) (giả thiết)
\(\widehat{C_1} = \widehat{D_1}\) (chứng minh trên)
\(DC:\) cạnh chung
\(\Rightarrow ΔACD = ΔBDC \,\,(c.g.c)\)
c) \(ΔACD = ΔBDC\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{ADC} = \widehat{BCD}\) (cặp góc tương ứng)
Xét hình thang \(ABCD\) có: \(\widehat{ADC} = \widehat{BCD}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow ABCD\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang)
Lưu ý: Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
+ Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.