Giải bài 53 trang 58 – SGK Toán lớp 8 tập 1
a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:
\(1 + \dfrac{1}{x}; \,\,\,\,\, 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x }};\,\,\,\,\,\, 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}}\)
b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức
\(1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}} }}}\)
Hướng dẫn:
Tính lần lượt \(1+\dfrac 1 x\) được kết quả bao nhiêu thì tính \(\dfrac 1 {1+\dfrac 1 x}\)
a) Ta có: \(1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{x} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x + 1}{x}\)
Áp dụng kết quả trên ta có:
\(1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x }} = 1 + \dfrac{1}{\dfrac{x + 1}{x }} = 1 + \dfrac{x}{x + 1} =\dfrac{x + 1}{x + 1} + \dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{x + 1 + x}{x + 1} = \dfrac{2x + 1}{x + 1}\)
Áp dụng kết quả trên ta lại có:
\(1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}} = 1 + \dfrac{1}{ \dfrac{2x + 1}{x + 1}} = 1 + \dfrac{x + 1}{2x + 1} = \dfrac{2x + 1}{2x + 1} + \dfrac{x + 1}{2x + 1} = \dfrac{2x + 1 + x + 1}{2x + 1} = \dfrac{3x + 2}{2x + 1}\)
b) Đối với các biểu thức có dạng đã cho có thể dự đoán như sau:
Qua các kết quả của các phần ở câu a) ta thấy kết quả tiếp theo sau là một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu, còn mẫu là
tử của kết quả vế trước đó.
Như vậy có thể dự đoán rằng:
Nếu biểu thức có 4 gạch phân số thì kết quả là \(\dfrac{5x + 3}{3x + 2}\) và trong trường hợp này có năm gạch phân số. Vậy kết quả là \(\dfrac{8x + 5}{5x + 3}\)
Thật vậy:
\(1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x} }}}\)
\(= 1 + \dfrac{1}{\dfrac{3x + 2}{2x + 1}}\)
\(= 1 + \dfrac{2x + 1}{3x + 2} \)
\(= \dfrac{3x + 2}{3x + 2} + \dfrac{2x + 1}{3x + 2}\)
\(=\dfrac{3x + 2 + 2x + 1}{3x + 2} \)
\(=\dfrac{5x + 3}{3x + 2}\)
Do đó
\(1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}} }}}\)
\(= 1 + \dfrac{1}{\dfrac{5x + 3}{3x + 2}}\)
\(= 1 + \dfrac{3x + 2}{5x + 3}\)
\(= \dfrac{5x + 3}{5x + 3} + \dfrac{3x + 2}{5x + 3}\)
\(= \dfrac{5x + 3 + 3x + 2}{5x + 3}\)
\(= \dfrac{8x + 5}{5x + 3}\)