Giải bài 14 trang 77 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn \(α\) tùy ý, ta có:
a) \(\operatorname{tg}\alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos\alpha };\operatorname{cotg}\alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\operatorname{tg}\,\alpha .\operatorname{cotg}\alpha =1\); b) \(\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha =1\)
Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go.
Lời giải:
Xét \(ΔABC\) vuông tại A, có \(\widehat{ABC}=\alpha \)
a) \(ΔABC\) vuông tại A, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
\(\begin{align} & \sin \alpha =\dfrac{AC}{BC};\cos \alpha =\dfrac{AB}{BC} \\ & \operatorname{tg}\alpha =\dfrac{AC}{AB};\cot g\,\alpha =\dfrac{AB}{AC} \\ \end{align}\)
*) Chứng minh \(\operatorname{tg} \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\), ta có:
\(VP=\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{AC}{BC}:\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AC}{AB}=\operatorname{tg} \alpha =VT\)
*) Chứng minh \(\operatorname{cotg}\alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\), ta có:
\(VP=\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{AB}{BC}:\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{AC}=\operatorname{cotg}\alpha =VT\)
*) Chứng minh \(\operatorname{tg} \alpha .\operatorname{cotg}\alpha =1\), ta có:
\(VT=\operatorname{tg} \alpha .\operatorname{cotg}\alpha =\dfrac{AC}{AB}.\dfrac{AB}{AC}=1=VP\)
b) Chứng minh \(\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha =1\).
Vì \(ΔABC\) vuông tại A, áp dụng định lí Pytago, ta được:
\( BC^2=AC^2+AB^2\)
Ta có
\( \begin{align} VT&={{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{\left( \dfrac{AC}{BC} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{AB}{BC} \right)}^{2}} \\ & =\dfrac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}{B{{C}^{2}}} \\ & =\dfrac{B{{C}^{2}}}{B{{C}^{2}}} \\ & =1=VP \\ \end{align}\)
a) \(ΔABC\) vuông tại A, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
\(\begin{align} & \sin \alpha =\dfrac{AC}{BC};\cos \alpha =\dfrac{AB}{BC} \\ & \operatorname{tg}\alpha =\dfrac{AC}{AB};\cot g\,\alpha =\dfrac{AB}{AC} \\ \end{align}\)
*) Chứng minh \(\operatorname{tg} \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\), ta có:
\(VP=\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{AC}{BC}:\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AC}{AB}=\operatorname{tg} \alpha =VT\)
*) Chứng minh \(\operatorname{cotg}\alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\), ta có:
\(VP=\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{AB}{BC}:\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{AC}=\operatorname{cotg}\alpha =VT\)
*) Chứng minh \(\operatorname{tg} \alpha .\operatorname{cotg}\alpha =1\), ta có:
\(VT=\operatorname{tg} \alpha .\operatorname{cotg}\alpha =\dfrac{AC}{AB}.\dfrac{AB}{AC}=1=VP\)
b) Chứng minh \(\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha =1\).
Vì \(ΔABC\) vuông tại A, áp dụng định lí Pytago, ta được:
\( BC^2=AC^2+AB^2\)
Ta có
\( \begin{align} VT&={{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{\left( \dfrac{AC}{BC} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{AB}{BC} \right)}^{2}} \\ & =\dfrac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}{B{{C}^{2}}} \\ & =\dfrac{B{{C}^{2}}}{B{{C}^{2}}} \\ & =1=VP \\ \end{align}\)
Lưu ý:Chúng ta cần ghi nhớ các hệ thức \(\operatorname{tg}\alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos\alpha };\operatorname{cotg}\,\alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\operatorname{cotg}\alpha .\operatorname{tg}\alpha =1\) và \(\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha =1\) để giải một số bài tập khác.
Xem video bài giảng và làm thêm bài luyện tập về bài học này ở đây để học tốt hơn.
Tham khảo lời giải các bài tập Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn khác
Giải bài 10 trang 76 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Vẽ một tam giác vuông...
Giải bài 11 trang 76 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Cho tam giác ABC vuông...
Giải bài 12 trang 76 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Hãy viết các tỉ số...
Giải bài 13 trang 77 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Dựng góc nhọn...
Giải bài 14 trang 77 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Sử dụng định nghĩa...
Giải bài 15 trang 77 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Cho tam giác ABC vuông...
Giải bài 16 trang 77 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Cho tam giác vuông có...
Giải bài 17 trang 77 – SGK Toán lớp 9 tập 1 Tìm \(x\) trong hình...
Mục lục Lớp 9 theo chương
Chương 1: Sinh vật và môi trường - SINH VẬT VÀ MÔI TRƯỜNG
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba - Đại số 9
Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Hình học 9
Chương 1: Liên Xô và các nước Đông Âu sau chiến tranh Thế giới thứ hai - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 đến nay
Chương 1: Việt Nam trong những năm 1919 - 1930 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ năm 1919 đến nay
Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba - Phần Đại số
Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Phần Hình học
Chương 1: Các thí nghiệm của Menđen - DI TRUYỀN VÀ BIẾN DỊ
Chương 1: Điện học - Giải bài tập SGK Vật lý 9
Địa Lý Dân Cư - Giải bài tập SGK Địa lý 9
Chương 1: Các loại hợp chất vô cơ - Giải bài tập SGK Hóa học 9
Chương 2: Hệ sinh thái - SINH VẬT VÀ MÔI TRƯỜNG
Chương 2. Hàm số bậc nhất - Đại số 9
Chương 2: Đường tròn - Hình học 9
Chương 2: Các nước Á, Phi, Mĩ Latinh từ năm 1945 đến nay - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 đến nay
Chương 2: Việt Nam trong những năm 1930 - 1939 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ năm 1919 đến nay
Chương 2: Hàm số bậc nhất - Phần Đại số
Chương 2: Đường tròn - Phần Hình học
Chương 2: Nhiễm sắc thể - DI TRUYỀN VÀ BIẾN DỊ
Chương 2: Điện tử học - Giải bài tập SGK Vật lý 9
Địa Lý Kinh Tế - Giải bài tập SGK Địa lý 9
Chương 2: Kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 9
Chương 3: Con người, dân số và môi trường - SINH VẬT VÀ MÔI TRƯỜNG
Chương 3: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Đại số 9
Chương 3: Góc với đường tròn - Hình học 9
Chương 3: Mĩ, Nhật Bản, Tây Âu từ năm 1945 đến nay - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 đến nay
Chương 3: Cuộc vận động tiến tới cách mạng tháng Tám năm 1945 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ năm 1919 đến nay
Chương 3: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Phần Đại số
Chương 3: ADN và gen - DI TRUYỀN VÀ BIẾN DỊ
Chương 3: Quang học - Giải bài tập SGK Vật lý 9
Chương 3: Góc với đường tròn - Phần Hình học
Sự Phân Hóa Lãnh Thổ - Giải bài tập SGK Địa lý 9
Chương 3: Phi kim. Sơ lược về bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 9
Chương 4: Bảo vệ môi trường - SINH VẬT VÀ MÔI TRƯỜNG
Chương 4. Hàm số y = ax2 (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn - Đại số 9
Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu - Hình học 9
Chương 4: Quan hệ quốc tế từ năm 1945 đến nay - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 đến nay
Chương 4: Việt Nam từ sau Cách mạng tháng Tám đến toàn quốc kháng chiến - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ năm 1919 đến nay
Chương 4. Hàm số y = ax2 (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn - Phần Đại số
Chương 4: Sự bảo toàn và chuyển hóa năng lượng - Giải bài tập SGK Vật lý 9
Chương 4: Biến dị - DI TRUYỀN VÀ BIẾN DỊ
Chương 4: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu - Phần Hình học
Địa Lý Địa Phương - Giải bài tập SGK Địa lý 9
Chương 4: Hiđrocacbon. Nhiên liệu - Giải bài tập SGK Hóa học 9
Chương 5: Cuộc cách mạng khoa học - kĩ thuật từ năm 1945 đến nay - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 đến nay
Chương 5: Việt Nam từ cuối năm 1946 đến năm 1954 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ năm 1919 đến nay
Chương 5: Di truyền học người - DI TRUYỀN VÀ BIẾN DỊ
Chương 5: Dẫn xuất của Hiđrocacbon. Polime - Giải bài tập SGK Hóa học 9
Chương 6: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ năm 1919 đến nay
Chương 6: Ứng dụng di truyền học - DI TRUYỀN VÀ BIẾN DỊ
Chương 7: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ năm 1919 đến nay
+ Mở rộng xem đầy đủ