Giới hạn của dãy số - Đại số và Giải tích toán lớp 11
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là 0 khi \(n\) dần tới dương vô cực, nếu \(\mid u_n \mid\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0\) hay \(u_n\to 0\) khi \(n\to +\infty\)
Định nghĩa 2
Ta nói dãy số \((v_n)\) có giới hạn là số \(a\) (hay \(v_n\) dần tới \(a\)) khi \(n \to +\infty\), nếu \(\lim\limits_{n \to +\infty}(v_n-a)=0\)
Kí hiệu: \(\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=a\) hay \(v_n\to a\) khi \(n\to +\infty\)
1.2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) \(\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{a}=0;\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{n^k}=0\), với \(k\) nguyên dương
b) \(\lim\limits_{n \to +\infty}q^n=0, \mid q\mid <1\)
c) Nếu \(u_n=c\) thì \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\lim\limits_{n \to +\infty}c=c\)
Chú ý
Từ nay về sau thay cho \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=a\), ta viết tắt là \(\lim\limits u_n=a\)
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) Nếu \(lim u_n=a , lim v_n=b\) thì
+) \(lim (u_n\pm v_n)=a\pm b\)
+) \(lim (u_n.v_n)=a.b\)
+) \(lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}(b\neq 0)\)
b) Nếu \(u_n\geq 0\) với mọi \(n\) và lim \(lim u_n=a\) thì : \(a\geq 0, lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}\)
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Cấp số nhân vô hạn \((u_n)\) có công bội \(q\), với \(\mid q \mid <1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được kí hiệu là \(S= u_1+u_2+...+u_n\)
\(S= \frac{u_1}{1-q}(\mid q \mid <1)\)
4. Giới hạn vô cực
4.1. Định nghĩa
- Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn \(+\infty\) khi \(n\rightarrow +\infty\), nếu \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: \(lim u_n=+\infty\) hay \(u_n\rightarrow +\infty\) khi \(n\rightarrow +\infty\)
- Dãy số \((u_n)\) đươc gọi là có giới hạn \(-\infty\) khi \(n\rightarrow +\infty\) nếu \(lim (-u_n)=+\infty\)
Kí hiệu: \(lim u_n=-\infty\) hay \(u_n\rightarrow -\infty\) khi \(n\rightarrow +\infty\)
4.2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) \(lim n^k =+\infty\) với \(k\) nguyên dương
b) \(lim q^n=+\infty\) nếu \(q>1\)
4.3. Định lí
Định lí 2
a) Nếu \(\lim\limits u_n=a\) và \(\lim\limits v_n=\pm \infty\) thì \(\lim\limits \frac{u_n}{v_n}=0\)
b) Nếu \(\lim\limits u_n=a>0\) và \(\lim\limits v_n=0\), \(v_n>0\) với mọi \(n\) thì \(\lim\limits \frac{u_n}{v_n}=+\infty\)
c) Nếu \(\lim\limits u_n=+\infty\) và \(\lim\limits v_n=a>0\) thì \(\lim\limits u_nv_n=+\infty\)
+ Mở rộng xem đầy đủ