Giải bài 6 trang 45 – SGK môn Giải tích lớp 12

* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\( f'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+6x+9=-3\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right) \\ \\ f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=3 \\ \end{align} \right. \)

Hàm số đồng biến trên \((-1;\,3)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;\,-1)\) và \((3;\,+\infty)\)

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại \(x=3;\,y_{CĐ}=29\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1;\,y_{CT}=-3\).

+) Giới hạn tại vô cực

\( \lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+2 \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( -1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{{{x}^{2}}}+\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right) \right]=-\infty \\ \\ \lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+2 \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( -1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{{{x}^{2}}}+\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right) \right]=+\infty \)

+Bảng biến thiên 

b) Ta có 

\(f'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+6x+9 \\ \\ \Rightarrow f'\left( x-1 \right)=-3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+6\left( x-1 \right)+9\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-3{{x}^{2}}+12x \)

\(f'\left( x-1 \right)>0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+12x>0\Leftrightarrow 0< x< 4 \)

c) Ta có 

\(f''\left( x \right)=-6x+6 \\ f''\left( {{x}_{o}} \right)=-6\Leftrightarrow -6{{x}_{o}}+6=-6\Leftrightarrow {{x}_{o}}=2 \)

Với \(x_o=2\Rightarrow f\left( 2 \right)=24;\,f'\left( 2 \right)=9\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x_o=2\) có dạng

\(y=9\left( x-2 \right)+24=9x+6\)

Ghi nhớ: Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

* Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm \(y'\)

+ Tìm các điểm đó đạo hàm \(y'=0\) hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm \(y'\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

* Đồ thị