Giải bài 7 trang 45 – SGK môn Giải tích lớp 12

a) \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\)

* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=3{{x}^{2}}+6x;\,\\y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right. \)

Hàm số nghịch biến trên \((-2;\,0)\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;\,-2)\) và \((0;\,+\infty)\)

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2;\,y_{CĐ}=5\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\,y_{CT}=1 \).

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1 \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right) \right]=+\infty \\ \\\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1 \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right) \right]=-\infty \)

+Bảng biến thiên 

b) Số nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1=\dfrac{m}{2}\) là số giao điểm của đồ thì (C) và đường thẳng (d) có phương trình \(y=\dfrac{m}{2}\)

Dựa vào đồ thị ta có

+  \( \left[ \begin{aligned} & \dfrac{m}{2}<1 \\ & \dfrac{m}{2}>5 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<2 \\ & m>10 \\ \end{align} \right. \) phương trình có một nghiệm duy nhất.
+  \(\left[ \begin{aligned} & \dfrac{m}{2}=1 \\ & \dfrac{m}{2}=5 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=10 \\ \end{align} \right.\) phương trình có hai nghiệm phân biệt.

+  \(1<\dfrac{m}{2}<5\Leftrightarrow 2< m< 10\) phương trình có ba nghiệm phân biệt.

c) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A(x_A; \,y_A)\,\text{và}\, B(x_B;\,y_B)\) có dạng: \(\dfrac{x-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}=\dfrac{y-{{y}_{A}}}{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}\)

Ta có \(A\left( -2;\,5 \right)\) là điểm cực đại và \( B\left( 0;\,1 \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: 

\(\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-5}{1-5} \\ \Leftrightarrow -2x-4=y-5 \\ \Leftrightarrow y=-2x+1 \)

 

Ghi nhớ: Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

* Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm \(y'\)

+ Tìm các điểm đó đạo hàm \(y'=0\) hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm \(y'\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

* Đồ thị