Giải bài 1 trang 103 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Chứng minh các dãy số \(\left( \dfrac{3}{5}{{.2}^{n}} \right),\,\left( \dfrac{5}{{{2}^{n}}} \right),\,\left( {{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{n}} \right)\)là các cấp số nhân.
Hướng dẫn:
Để chứng minh một dãy số là cấp số nhân, ta chứng minh \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) có giá trị không đổi với mọi n
Lập tỉ số: \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) ta có:
a) \(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\left( \dfrac{3}{2}{{.2}^{n+1}} \right):\left( \dfrac{3}{2}{{.2}^{n}} \right)=2\Rightarrow {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}},\,\,\,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)
Vậy \((u_n)\) là cấp số nhân có công bội \(q=2\)
b) \(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\left( \dfrac{5}{{2}^{n+1}} \right):\left( \dfrac{5}{{2}^{n}} \right)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}{{u}_{n}},\,\,\,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)
Vậy \((u_n)\) là cấp số nhân có công bội \(q=\dfrac{1}{2}\)
c) \(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\left(- \dfrac{1}{{2}} \right)^{n+1}:\left(- \dfrac{1}{{2}} \right)^{n}=\dfrac{-1}{2}\Rightarrow {{u}_{n+1}}=\dfrac{-1}{2}{{u}_{n}},\,\,\,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)
Vậy \((u_n)\) là cấp số nhân có công bội \(q=-\dfrac{1}{2}\)