Giải bài 3 trang 103 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Tìm các số hạng của cấp số nhân (\(u_n\)) có năm số hạng, biết:
a) \(u_3 =3 \) và \(u_5=27\);
b) \(u_4-u_2=25\) và \(u_3-u_1=50\).
Gợi ý:
Áp dụng: \(u_n=u_1.q^{n-1}\)
a) Ta có: \(u_3=3\Rightarrow u_1.q^2=3\)
\(u_5=27\Rightarrow u_1.q^4=27\)
Suy ra: \(q^2=9\Leftrightarrow q=\pm 3\)
Với \(q=3\) ta có: \(u_1=\dfrac{1}{3}\). Ta có cấp số nhân:
\(u_1=\dfrac{1}{3};\,u_2=1;\,u_3=3;\,u_4=9;\,u_5=27\)
Với \(q=-3\) ta có: \(u_1=\dfrac{1}{3}\). Ta có cấp số nhân:
\(u_1=\dfrac{1}{3};\,u_2=-1;\,u_3=3;\,u_4=-9;\,u_5=27\)
b) Ta có:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{4}}-{{u}_{2}}=25 \\ & {{u}_{3}}-{{u}_{1}}=50 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}{{q}^{3}}-{{u}_{1}}q=25 \\ & {{u}_{1}}{{q}^{2}}-{{u}_{1}}=50 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}q\left( {{q}^{2}}-1 \right)=25 \\ & {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}-1 \right)=50 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & q.50=25 \\ & {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}-1 \right)=50 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & q=\dfrac{1}{2} \\ & {{u}_{1}}\left( \dfrac{1}{4}-1 \right)=50 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & q=\dfrac{1}{2} \\ & {{u}_{1}}=\dfrac{-200}{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Ta có cấp số nhân: \(\dfrac{-200}{3};\,\dfrac{-100}{3};\,\dfrac{-50}{3};\,\dfrac{-25}{3};\dfrac{-25}{6}\)