Giải bài 64 trang 87 - SGK Toán lớp 7 Tập 2
Gọi \(MH\) là đường cao của tam giác \(MNP.\) Chứng minh rằng:
Nếu \(MN < MP\) thì \(HN < HP\) và \(\widehat{NMH} < \widehat{PMH}\)
(yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc \(N\) nhọn và khi góc \(N\) tù).
+ Nếu góc \(N\) là góc nhọn
Ta có \(MN, \, MP, \, MH\) là các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(NP.\)
Theo giả thiết, ta có \(MN < MP\) và \(NH, \, HP\) lần lượt là hình chiếu của \(MN, \, MP\) lên \(NP.\)
Vậy \(HN < HP\) (quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu)
\(ΔMNP\) có: \(MN < MP \)
\(\Rightarrow \widehat{MPN} < \widehat{MNP}\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)
Lại có: \(\widehat{MPN} + \widehat{HMP} = 90^o\) (vì \(ΔHMP\) vuông tại \(H\) )
\( \widehat{MNP} + \widehat{NMH} = 90^o\) (vì \(ΔHMN\) vuông tại \(H\) )
\( \color{red} {\Rightarrow \widehat{NMH} < \widehat{PMH}} \) (đpcm) \(\color{red} {(**)}\)
+ Trường hợp góc N là góc tù
\(ΔMNP\) có \(\widehat{N}\) tù nên chân đường cao \(H\) ở ngoài cạnh \(NP\) và \(N\) nằm giữa \(H\) và \(P \)
\(\Rightarrow HN < HP\)
Vì \(N\) ở giữa \(H\) và \(P\) nên tia \(MN\) ở giữa hai tia \(MH\) và \(MP.\) Từ đó suy ra \(\color{red} {\widehat{NMH} < \widehat{PMH}}\)
(Giải thích ở phần \(\color{red} {(**)}\): nếu tổng của hai cặp số cùng bằng nhau (bằng \(90^o\) chẳng hạn) thì số nào cộng với số lớn hơn thì nhỏ hơn số kia. Tức là:
\(a + b = 90^o\)
\(c + d = 90^o\)
mà \(b > d\) thì suy ra \(a < c\))