Giải bài 69 trang 88 - SGK Toán lớp 7 Tập 2
Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b.
Hướng dẫn:
Theo bài toán \(a,\, b\) không song song nên hai đường thẳng này sẽ cắt nhau tại một điểm \(O.\) Gọi \(I = SQ \cap MI.\) Ta cần chỉ ra được \(MI \bot SQ\) và \(O ,\,M,\, I\) thẳng hàng.Tiếp đó, xét tam giác \(OSQ\) và sử dụng các giả thuyết bài toán xác định xem \(QP, \,SR\) như thế nào so với tam giác. Từ đây suy ra tính chất của điểm \(M.\) Sau đó, suy ra vân đề cần chứng minh.
Bài giải
Hai đường thẳng a và b không song song nên a và b giao nhau tại một điểm \(O\) nào đó.
Xét \(ΔOSQ\) ta có:
\(QP \bot OS\) (giả thiết)
\(SR \bot OQ\) (giả thiết)
Lại có: \(SR\) và \(QP\) cắt nhau tại điểm \(M\)
Vậy \(M\) là trực tâm của \(ΔOSQ. \)
Ta lại có \(MI \bot SQ\) (giả thiết), nên \(MI\) nằm trên đường cao hạ từ đỉnh \(O\) của tam giác \(OSQ. \)
Vậy \(O,\, M,\, I \) thẳng hàng hay đường thẳng \(MI\) đi qua giao điểm của a và b.