Giải bài 3 trang 178 – SGK môn Đại số và Giải tích 11

Nêu cách giải phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\).

Lời giải:

+) Phương trình \(\sin x=m\)

TH1: \( |m |>1\) phương trình vô nghiệm

TH2: \(|m |\le 1\) tồn tại \(\alpha\) sao cho \(\sin \alpha =m\), phương trình có các nghiệm là:

\(x=\alpha +k2\pi \,\,\,\text{và}\,\,\,x=\pi -\alpha +k2\pi\)

Tổng quát:

\(\begin{aligned} & \sin f\left( x \right)=\sin g\left( x \right) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & f\left( x \right)=g\left( x \right)+k2\pi \\ & f\left( x \right)=\pi -g\left( x \right)+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,k\in \mathbb{Z} \\ \end{aligned} \)

+) Phương trình \(\cos x=m\)

TH1: \(|m |>1\) phương trình vô nghiệm

TH2: \(|m |\le 1\) tồn tại \(\alpha\) sao cho \(\cos \alpha =m\); phương trình có các nghiệm là:

\(x=\alpha +k2\pi \,\,\,\text{và}\,\,\,x=-\alpha +k2\pi\)

Tổng quát:

\(\begin{aligned} & \cos f\left( x \right)=\cos g\left( x \right) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & f\left( x \right)=g\left( x \right)+k2\pi \\ & f\left( x \right)=-g\left( x \right)+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,k\in \mathbb{Z} \\ \end{aligned}\)

+) Phương trình \( \tan x=m\)

Với \(m\) là một số cho trước tồn tại \(\alpha \) sao cho \(\tan \alpha =m\)

Phương trình luôn có nghiệm \(x=\alpha +k\pi ,\,\,\,k\in \mathbb{Z} \)

+) Phương trình \(\cot x=\alpha\)

Với \(m\) là một số cho trước tồn tại \(\alpha \) sao cho \(\cot \alpha =m\)

Phương trình luôn có nghiệm \(x=\alpha +k\pi ,\,\,\,k\in \mathbb{Z} \)

+) Phương trình \(a\sin x+b\cos x=c \)

Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\), phương trình tương đương:

\(\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\dfrac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x=\dfrac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \)

Đặt \(\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\cos \alpha ;\dfrac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sin \alpha \)

Phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{aligned} & \sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha =\dfrac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \\ & \Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\dfrac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \\ \end{aligned} \)

TH1: \(\left| \dfrac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right|>1\) phương trình đã cho vô nghiệm.

TH2: \(\left| \dfrac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right|\le 1\Rightarrow \dfrac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\sin \beta\) phương trình đã có có nghiệm:

\(x+\alpha =\beta +k2\pi \,\,\,\text{và}\,\,\,x+\alpha =\pi -\beta +k2\pi ,\,\,\,\,k\in \mathbb{Z} \)

Mục lục Đại số và Giải tích 11 theo chương •Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác •Chương 2: Tổ hợp và xác suất •Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân •Chương 4: Giới hạn •Chương 5: Đạo hàm

Bài trước Bài sau

Đại số và Giải tích 11

Câu hỏi ôn tập cuối năm

Đại số và Giải tích 11

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Giới hạn Chương 5: Đạo hàm

+ Mở rộng xem đầy đủ