Giải bài 7 trang 27 SGK Hình học 10

Hướng dẫn:

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Tìm tọa độ trọng tâm các tam giác.

Áp dụng:

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, ta luôn có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3} \\ & {{y}_{G}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \\ \end{align} \right.\)

Gọi \(A(x;y)\). Ta có:

\(\overrightarrow{AC'}=\left( 2-x;-2-y \right);\overrightarrow{B'A'}=\left( -6;-3 \right)\)

Vì \(A'B'\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên 

\(\begin{aligned} & \overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{B'A'}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 2-x=-6 \\ & -2-y=-3 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=8 \\ & y=1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Rightarrow A\left( 8;1 \right) \\ \end{aligned} \)

Tương tự, ta tính được: \(B(-4; -5); C(-4; 7). \)

Tọa độ trọng tâm \(G\) của \(\Delta{ABC}\) là:

\(\left\{ \begin{align} & {{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=\frac{8-4-4}{3}=0 \\ & {{y}_{G}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=\frac{1-5+7}{3}=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow G\left( 0;1 \right)\)

Tọa độ trọng tâm \(G'\) của \(\Delta{A'B'C'}\) là:

\(\left\{ \begin{align} & {{x}_{G'}}=\dfrac{{{x}_{A'}}+{{x}_{B'}}+{{x}_{C'}}}{3}=\dfrac{-4+2+2}{3}=0 \\ & {{y}_{G'}}=\dfrac{{{y}_{A'}}+{{y}_{B'}}+{{y}_{C'}}}{3}=\dfrac{1+4-2}{3}=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow G'\left( 0;1 \right)\)

Vậy trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.