Giải bài 3 trang 45 – SGK Hình học lớp 10

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a; \overrightarrow b\) khác \(\overrightarrow 0\) là: \(\overrightarrow a . \overrightarrow b =|\overrightarrow a||\overrightarrow b| \cos (\overrightarrow a, \overrightarrow b)\)

Ta có:

 \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}.\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM} \right)=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BM}\)(1)

Lại có: \(\widehat{AMB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 \(\Rightarrow AI\,\bot\,BM\\ \Rightarrow \overrightarrow{AI} .\overrightarrow{BM}=0\,\, (2)\)

Từ (1) và (2), ta có: \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\)

Chứng minh tương tự, ta được: \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)

b) Áp dụng kết quả câu a) ta có:

\(\begin{aligned} & \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AB} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left( \overrightarrow{AI}-\overrightarrow{BI} \right).\overrightarrow{AB} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=A{{B}^{2}} \\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=4{{R}^{2}} \\ \end{aligned} \)

Ghi nhớ:

Nếu góc giữa hai vectơ là \(90^o\) thì tích vô hướng của hai vectơ bằng 0.