Giải bài 7 trang 161 – SGK môn Đại số lớp 10
Chứng minh các hệ thức sau
\(a)\,\dfrac{1-2{{\sin }^{2}}a}{1+\sin 2a}=\dfrac{1-\tan a}{1+\tan a}; \)
\(b)\,\dfrac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a}=\tan 3a \)
\(c)\,\dfrac{{{\sin }^{4}}a-{{\cos }^{4}}a+{{\cos }^{2}}a}{2\left( 1-\cos a \right)}={{\cos }^{2}}\dfrac{a}{2} ;\)
\(d)\,\dfrac{\tan 2x\tan x}{\tan 2x-\tan x}=\sin 2x \)
Hướng dẫn:
Xem lại các công thức lượng giác cơ bản rồi biến đổi.
\( a)\,\dfrac{1-2{{\sin }^{2}}a}{1+\sin 2a}=\dfrac{{{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a}{{{\left( \sin a+\cos a \right)}^{2}}}=\dfrac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}=\dfrac{1-\tan a}{1+\tan a} \)
\(\begin{align} & b)\,\dfrac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a}=\dfrac{2\sin 3a\cos 2a+\sin 3a}{2\cos 3a\cos 2a+\cos 3a} \\ & =\dfrac{\sin 3a\left( 2\cos 2a+1 \right)}{\cos 3a\left( 2\cos 2a+1 \right)}=\tan 3a \\ \end{align} \)
\(\begin{align} & c)\,\dfrac{{{\sin }^{4}}a-{{\cos }^{4}}a+{{\cos }^{2}}a}{2\left( 1-\cos a \right)}=\dfrac{{{\sin }^{2}}a-{{\cos }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a}{2.2{{\sin }^{2}}\dfrac{a}{2}} \\ & =\dfrac{{{\sin }^{2}}a}{4{{\sin }^{2}}\dfrac{a}{2}}={{\cos }^{2}}\dfrac{a}{2} \\ \end{align} \)
\(\begin{align} & d)\,\dfrac{\tan 2x\tan x}{\tan 2x-\tan x}=\dfrac{\dfrac{\sin 2x\sin x}{\cos 2x\cos x}}{\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}} \\ & =\dfrac{\sin 2x\sin x}{\cos 2x\cos x}.\dfrac{\cos 2x\cos x}{\sin 2x\cos x-\cos 2x\sin x} \\ & =\dfrac{\sin 2x\sin x}{\sin x}=\sin 2x \\ \end{align}\)
