Giải bài 11 trang 143 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11
Cho dãy (\(u_n\)) với \({{u}_{n}}=\sqrt{2}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{3}}+...+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{n}}\) .
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
(A) \( \lim {{u}_{n}}=\sqrt{2}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+...+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{n}}+...=\dfrac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} \)
(B) \(\lim u_n=-\infty \)
(C) \(\lim u_n=+\infty\)
(D) Dãy số \(u_n\) không giới hạn khi \(n\to +\infty\)
Ta có:
\(\begin{align} & \sqrt{2}.{{u}_{n}}={{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+...+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{n}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{n+1}} \\ & \Rightarrow \sqrt{2}.{{u}_{n}}-{{u}_{n}}={{\left( \sqrt{2} \right)}^{n+1}}-\sqrt{2} \\ & \Rightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{\sqrt{2}\left[ {{\left( \sqrt{2} \right)}^{n}}-1 \right]}{\sqrt{2}-1} \\ \end{align}\)
\(\lim {{u}_{n}}=\lim \dfrac{\sqrt{2}\left[ {{\left( \sqrt{2} \right)}^{n}}-1 \right]}{\sqrt{2}-1}=+\infty \)
Vậy đáp án đúng là C
