Giải bài 7 trang 143 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11
Xét tính liên tục trên \(\mathbb R\) của hàm số
\(g(x)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}\,\,\text{nếu}\,\,\,x>2 \\ & 5-x\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x\le 2 \\ \end{align} \right.\)
Ta có:
Tập xác định của hàm số: \(D=\mathbb{R}\)
Hàm số \(y=g(x)\) liên tục trên các khoảng \(\left( -\infty ;2 \right) \) và \(\left( 2;+\infty \right).\)
Tại \({{x}_{0}}=2\). Ta có: \(g(2)=3\)
\(\lim\limits_{x\to {{2}^{-}}}\,g(x)=\lim\limits_{x\to {{2}^{-}}}\,\left( 5-x \right)=3\)
\(\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,g(x)=\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}=\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,\dfrac{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}{\left( x-2 \right)}=\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,\left( x+1 \right)=3\)
Vậy \(\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,g(x)=\lim\limits_{x\to {{2}^{-}}}\,g(x)=g(2)\) nên \(g(x)\) liên tục tại \(x=2.\)
Vậy hàm số \(y=g(x)\) liên tục trên \(\mathbb R\)
