Giải bài 2 trang 141 SGK giải tích nâng cao 12
Tìm
a) \(\int{\left( \sqrt{x}+\sqrt[3]{x} \right)dx};\) b) \(\int{\dfrac{x\sqrt{x}+\sqrt{x}}{{{x}^{2}}}dx};\)
c) \(\int{4{{\sin }^{2}}xdx};\) d) \(\int{\dfrac{1+\cos 4x}{2}dx}\)
Gợi ý: Vận dụng các công thức nguyên hàm cơ bản trang 139.
\(\begin{aligned} a)\, & \int{\left( \sqrt{x}+\sqrt[3]{x} \right)dx}=\int{\left( {{x}^{\frac{1}{2}}}+{{x}^{\frac{1}{3}}} \right)dx=\dfrac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}+\dfrac{3}{4}{{x}^{\frac{4}{3}}}+C} \\ b)\,& \int{\dfrac{x\sqrt{x}+\sqrt{x}}{{{x}^{2}}}dx}=\int{\left( {{x}^{-\frac{1}{2}}}+{{x}^{-\frac{3}{2}}} \right)dx}=2\sqrt{x}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}+C \\ c)\, & \int{4{{\sin }^{2}}xdx}=\int{2\left( 1-\cos 2x \right)dx}=2x-\sin 2x+C \\ d)\,& \int{\dfrac{1+\cos 4x}{2}dx}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 4x}{8}+C \\ \end{aligned} \)