Giải bài 88 trang 130 SGK giải tích nâng cao 12
Gọi c là cạnh huyền, a và b là cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng
\({{\log }_{b+c}}a+{{\log }_{c-b}}a=2{{\log }_{b+c}}a.{{\log }_{c-b}}a.\)
\(\begin{aligned} & {{\log }_{b+c}}a+{{\log }_{c-b}}a=2{{\log }_{b+c}}a.{{\log }_{c-b}}a. \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\log }_{a}}\left( b+c \right)}+\dfrac{1}{{{\log }_{a}}\left( c-b \right)}=\dfrac{2}{{{\log }_{a}}\left( b+c \right).{{\log }_{a}}\left( c-b \right)} \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{a}}\left( c-b \right)+{{\log }_{a}}\left( b+c \right)=2 \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{a}}\left( {{c}^{2}}-{{b}^{2}} \right)=2 \\ & \Leftrightarrow {{c}^{2}}-{{b}^{2}}={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ \end{aligned} \)
Tam giác vuông cạnh huyền c và hai cạnh góc vuông a, b nên ta có \({{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\).
Suy ra điều phải chứng minh.