Giải bài 90 trang 131 SGK giải tích nâng cao 12
Giả sử đồ thị (G) của hàm số \(y=\dfrac{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{x}}}{\ln 2}\) cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).
Hướng dẫn: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_o;y_o)\) có phương trình:
\(y=f'(x_o)(x-x_o)+y_o\)
Ta có: \(x=0\Rightarrow y=\dfrac{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{0}}}{\ln 2}=\dfrac{1}{\ln 2}\)
Do đó \(A\left( 0;\dfrac{1}{\ln 2} \right)\Rightarrow OA=\dfrac{1}{\ln 2}\)
\(y'=\dfrac{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{x}}}{\ln 2.\ln \sqrt{2}}=\dfrac{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{x}}}{2{{\ln }^{2}}2} \\ \Rightarrow y'\left( 0 \right)=\dfrac{1}{2{{\ln }^{2}}2} \)
Suy ra phương trình tiếp tuyến của (G) tại A là
\(y=\dfrac{1}{2{{\ln }^{2}}2}x+\dfrac{1}{\ln 2}\)
Với \(y=0\Rightarrow \dfrac{1}{2{{\ln }^{2}}2}x+\dfrac{1}{\ln 2}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{\ln 2} \)
Suy ra \(B\left( -\dfrac{2}{\ln 2};0 \right)\Rightarrow OB=\dfrac{2}{\ln 2}\)
Diện tích của tam giác OAB là
\({{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{\ln 2}.\dfrac{1}{\ln 2}=\dfrac{1}{{{\ln }^{2}}2}\approx 2,081\)