Giải bài 1 trang 45 – SGK môn Giải tích lớp 12
Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
\(y=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-7 \\ y=\dfrac{x-5}{1-x} \)
Hướng dẫn:
Xem lại nội dung định lí trang 6, 7 SGK Giải tích 12.
Định lí:
a) Nếu \(f'\left( x \right)>0\) với mọi \(x\) thuộc \(K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\).
Định lí mở rộng:
Giả sử hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(K\). Nếu \(f'\left( x \right)\ge 0\,\left( f'\left( x \right)\le 0 \right),\,\forall x\in K\)và \(f'\left( x \right)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên \(K\).
Áp dụng:
a) \(y=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-7\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
\(y'=-3{{x}^{2}}+4x-1;\,\\y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\dfrac{1}{3} \\ & x=1 \\ \end{align} \right. \)
Hàm số đồng biến \(\Leftrightarrow y'> 0 \)
\(\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+4x-1> 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x < 1 \)
Hàm số nghịch biến \(\Leftrightarrow y'< 0 \)
\(\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+4x-1<0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x>1 \\ & x<\dfrac{1}{3} \\ \end{align} \right. \)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( \dfrac{1}{3};\,1 \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\,\dfrac{1}{3} \right)\) và \(\left( 1;\,+\infty \right)\)
b) \(y=\dfrac{x-5}{1-x} \)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(y'=\dfrac{-4}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}<0,\,\forall x\in D\)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\,1 \right)\) và \(\left( 1,\,+\infty \right)\)