Giải bài 5 trang 45 – SGK môn Giải tích lớp 12

a)  Với \(m=1\) ta có \(y=2{{x}^{2}}+2x\)

* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=4x+2;\,y'=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \)

Hàm số đồng biến trên \(\left(\dfrac{-1}{2};\,+\infty\right)\)

Hàm số nghịch biến trên  \(\left(-\infty;\,\dfrac{-1}{2}\right)\)

+) Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\dfrac{-1}{2},\,y_{CT}=\dfrac{-1}{2}\)

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( 2{{x}^{2}}+2x \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left[ {{x}^{2}}\left( 2+\dfrac{2}{x} \right) \right]=+\infty\)

+Bảng biến thiên 

b) Ta có \(y'=4x+2m;\\y'=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{m}{2}\)

Bảng biến thiên

i) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\,+\infty \right)\) khi và chỉ khi \( -\dfrac{m}{2}\le -1\Leftrightarrow m\ge 2\).

ii) Hàm số có cực trị  trên khoảng \(\left( -1;\,+\infty \right)\) khi và chỉ khi \(-\dfrac{m}{2}>-1\Leftrightarrow m<2\).

c) Phương trình hoành độ giao điểm của \((C_m)\) và trục hoành có dạng 

\(2{{x}^{2}}+2mx+m-1=0 \\ \Delta '={{m}^{2}}-2m+2 \\\,\,\,\,\,\,={{\left( m-1 \right)}^{2}}+1>0,\,\forall m\in \mathbb{R} \)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy  \((C_m)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

Ghi nhớ: Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

* Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm \(y'\)

+ Tìm các điểm đó đạo hàm \(y'=0\) hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm \(y'\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

* Đồ thị