Giải bài 33 trang 28 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Cho đường cong (C) có phương trình \(y=ax+b+\dfrac{c}{x-x_0}\), trong đó \(a\ne 0, c\ne 0\) và điểm I có tọa độ \((x_0; y_0)\) thỏa mãn \(y_0=ax_0+b\). Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI}\) và phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ \(IXY\). Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của đường cong (C)
Ta có:
\(y=ax+b+\dfrac{c}{x-x_0}\\ \Leftrightarrow y=a(x-x_0)+ax_0+b+\dfrac{c}{x-x_0}\\ \Leftrightarrow y-y_0=a(x-x_0)+\dfrac c {x-x_0}\)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & y-y_0=Y \\ & x-x_0=X\\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} & x=X+x_0 \\ & y=Y+y_0\\ \end{aligned} \right. \)
Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI}=(x_0;y_0)\) với \(I(x_0; y_0)\) và \(Y=aX+\dfrac C X\) là phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY.
Nhận thấy \(Y=aX+\dfrac{c}X\) là hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ I là tâm đối xứng.
Ghi nhớ:
Hàm số lẻ có đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.