Giải bài 9 trang 132 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC, \,D\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(C.\) Chứng minh rằng: \(\widehat{ABD} = \widehat{ACB} \Leftrightarrow AB^2 = AC.AD\)
+) Chứng minh \( \widehat{ABD} = \widehat{ACB} \Rightarrow AB^2 = AC.AD\)
Xét ∆ABD và ∆ACB có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{ABD} = \widehat{ACB}\) (giả thiết)
\(\Rightarrow ΔABD \backsim ΔACB \, \text{ (g.g)} \\ \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AB} \, \text{ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)} \\ \Rightarrow AB^2 = AC.AD \)
+) Chứng minh \(AB^2 = AC.AD \Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{ACB}\)
Ta có: \(AB^2 = AC.AD \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AB}\)
Xét \(∆ABD\) và \(∆ACB\) có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AB}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow ΔABD \backsim ΔACB \, \text{ (c.g.c)} \)
\(\Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{ACB}\) (cặp góc tương ứng)
Vậy \(\widehat{ABD} = \widehat{ACB} \Leftrightarrow AB^2 = AC.AD\)
Ghi nhớ:
Với các bài toán chứng minh biểu thức dạng \(AB^2=AC.AD\) hoặc \(AB.AM=AC.AN\) ta thường chứng minh qua các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ của hai tam giác đồng dạng.
